質問＜３４３８＞２００６／１０／２０
from=なおひ
「積分の問題」

（１）
円x^2+y^2=3上の点Ｐから放物線y=1/2 x^2 に異なる２本の接線が引くことができる
ものとし、その２つの接点をＱ，Ｒとする。このとき線分ＱＲとこの放物線とで囲
まれた部分の面積を最大とするような点Ｐの座標と，そのときの面積を求めよ。

（２）
曲線Ｃ：y=x^2 + 1 へ直線 y=x 上の点Ｐから２接線を引く。２接線とＣの囲む
面積Ｓの最小値を求めよ。

どちらもＳ=|a|/12 (β－α)^3を使うと思うのですが、上手くいかないです。
宜しくお願いします。

★希望★完全解答★

お便り２００６／１０／２１
from=主夫

（１）
Q(α,α^2),R(β,β^2)とおく。（α＜β)
点PはQを接点とする接線：y=αx-(1/2)α^2 と
　　 Rを接点とする接線：y=βx-(1/2)β^2
との交点だから，これを連立すると，
P((α+β)/2,αβ/2)となる。…①

一方，Pは円x^2+y^2=3上の点でもあるから，
P((√3)cosθ,(√3)sinθ)　…②
とおくこともできる。
したがって，①②より
α+β=(2√3)cosθ,αβ=(2√3)sinθ …③

Q(α,α^2),R(β,β^2)を通る直線は，
y={(α+β)/2}x-(1/2)αβ　だから，
求める面積S
=∫[α→β]{{(α+β)/2}x-(1/2)αβ-(1/2)x^2}dx
=…
=(1/12)(β-α)^3　　　　（これは予想通りですね）

③より
(α+β)^2={(2√3)cosθ}^2
(β-α)^2+4αβ=12cos^2θ
(β-α)^2
=12cos^2θ-4*(2√3)sinθ
=12(1-sin^2θ)-4*(2√3)sinθ
=-12sin^2θ-8(√3)sinθ+12　…④

S=(1/12)(β-α)^3 は(β-α)^2が最大のときSも最大になるので，
(∵α＜βよりβ-α＞0)
④を平方完成して
(β-α)^2
=-12(sinθ+1/√3)^2+16   
（この辺で計算ミスがないか是非チェックしてみてください。）
よってsinθ=-1/√3のとき(β-α)^2は最大値16をとる。
つまりβ-α=4
∴S(max)
=(1/12)(β-α)^3
=(1/12)*4^3
=16/3


（２）
（１）同様，接点を(α,α^2),(β,β^2)とおく。（α＜β)
点PはQを接点とする接線：y=2αx-α^2 +1と
　　 Rを接点とする接線：y=2βx-β^2+1
との交点だから，これを連立すると，
P((α+β)/2,αβ)となる。
ところでPは直線y=x上の点でもあるから，
αβ=(α+β)/2　…①

面積S
=∫[α→(α+β)/2]{x^2+1-(2αx-α^2+1)}dx+∫[(α+β)/2→β]{x^2+1-(2βx-β^2+1)}dx
=∫[α→(α+β)/2](x-α)^2dx+∫[(α+β)/2→β](x-β)^2dx
=…
=(1/12)(β-α)^3

ここで①より
(αβ)^2=(α+β)^2/4
4(αβ)^2=(β-α)^2+4αβ
(β-α)^2=4(αβ-1/2)^2+1
S=(1/12)(β-α)^3 は(β-α)^2が最小のときSも最小になるので，
(∵α＜βよりβ-α＞0)
αβ=1/2 のとき(β-α)^2は最小値1をとる。
つまりβ-α=1
∴S(min)
=(1/12)(β-α)^3
=1/12