質問<3438>2006/10/20
(1) 円x^2+y^2=3上の点Pから放物線y=1/2 x^2 に異なる2本の接線が引くことができる ものとし、その2つの接点をQ,Rとする。このとき線分QRとこの放物線とで囲 まれた部分の面積を最大とするような点Pの座標と,そのときの面積を求めよ。 (2) 曲線C:y=x^2 + 1 へ直線 y=x 上の点Pから2接線を引く。2接線とCの囲む 面積Sの最小値を求めよ。 どちらもS=|a|/12 (β-α)^3を使うと思うのですが、上手くいかないです。 宜しくお願いします。 ★希望★完全解答★
お便り2006/10/21
from=主夫
(1) Q(α,α^2),R(β,β^2)とおく。(α<β) 点PはQを接点とする接線:y=αx-(1/2)α^2 と Rを接点とする接線:y=βx-(1/2)β^2 との交点だから,これを連立すると, P((α+β)/2,αβ/2)となる。…① 一方,Pは円x^2+y^2=3上の点でもあるから, P((√3)cosθ,(√3)sinθ) …② とおくこともできる。 したがって,①②より α+β=(2√3)cosθ,αβ=(2√3)sinθ …③ Q(α,α^2),R(β,β^2)を通る直線は, y={(α+β)/2}x-(1/2)αβ だから, 求める面積S =∫[α→β]{{(α+β)/2}x-(1/2)αβ-(1/2)x^2}dx =… =(1/12)(β-α)^3 (これは予想通りですね) ③より (α+β)^2={(2√3)cosθ}^2 (β-α)^2+4αβ=12cos^2θ (β-α)^2 =12cos^2θ-4*(2√3)sinθ =12(1-sin^2θ)-4*(2√3)sinθ =-12sin^2θ-8(√3)sinθ+12 …④ S=(1/12)(β-α)^3 は(β-α)^2が最大のときSも最大になるので, (∵α<βよりβ-α>0) ④を平方完成して (β-α)^2 =-12(sinθ+1/√3)^2+16 (この辺で計算ミスがないか是非チェックしてみてください。) よってsinθ=-1/√3のとき(β-α)^2は最大値16をとる。 つまりβ-α=4 ∴S(max) =(1/12)(β-α)^3 =(1/12)*4^3 =16/3 (2) (1)同様,接点を(α,α^2),(β,β^2)とおく。(α<β) 点PはQを接点とする接線:y=2αx-α^2 +1と Rを接点とする接線:y=2βx-β^2+1 との交点だから,これを連立すると, P((α+β)/2,αβ)となる。 ところでPは直線y=x上の点でもあるから, αβ=(α+β)/2 …① 面積S =∫[α→(α+β)/2]{x^2+1-(2αx-α^2+1)}dx+∫[(α+β)/2→β]{x^2+1-(2βx-β^2+1)}dx =∫[α→(α+β)/2](x-α)^2dx+∫[(α+β)/2→β](x-β)^2dx =… =(1/12)(β-α)^3 ここで①より (αβ)^2=(α+β)^2/4 4(αβ)^2=(β-α)^2+4αβ (β-α)^2=4(αβ-1/2)^2+1 S=(1/12)(β-α)^3 は(β-α)^2が最小のときSも最小になるので, (∵α<βよりβ-α>0) αβ=1/2 のとき(β-α)^2は最小値1をとる。 つまりβ-α=1 ∴S(min) =(1/12)(β-α)^3 =1/12