質問＜３４６＞２０００／１０／２６
from=ayumi
「複素数と三角錐の体積」

2題ほどわからないので教えていただけないでしょうか。
よろしくお願いします。
 
【複素数】
自然数x.y.z,uは全て素数であるとして
α=x+yi   β=z+ui   とおく(iは虚数単位)
このとき、αβの実部がxに等しく、虚部が2000以下の素数になるような
α、βの組を求めよ。
 
【体積】
三角錐ABCDにおいて
AB=CD=2,AC=x,BD=2x, ∠BAC=∠ABD=60°である。
この三角錐の体積を最大とするようなxの値を求めよ

お返事２０００／１０／２７
from=武田

複素数も三角錐の体積も、全く分かりません。
誰かヒントをください。
ＳＯＳ！！

お便り２０００／１１／２
from=T.Kawaguchi

（※川口さんの解答に図や解説をつけました。武田）
武田先生こんにちは。
 
ayumiさんの質問で未解決の問題ですが
添削問題をやっていて同じような問題を見かけました。
一応僕の送る答案の解答を書いておきますので参考にしていただけたら
幸いです

【複素数】
αβ=(x+yi)(z+ui)=(xz-uy)+(xu+yz)i 
題意より 
xz-uy=x　　　　 ………… ① 
8≦xu+yz≦2000　………… ② 
①より　(z-1)x=uy 
右辺のuyが素数の積だから、左辺も素数の積で、 
z-1が素数となるのは、ｚ=3に限られる。 
Ⅰ) z-1=u　、すなわち　x=y、ｚ＝3、u=2のとき 
　　α=x(1+i) , β=3+2i 
　　xu+yz=2x+3x=5x となり、素数とはならない。 
Ⅱ) z-1=y すなわち z=3, y=2 ,x=u のとき 
　　α=x+2i , β=3+xi 
　　xu+yz=x2 +6 　　　　　　　　　 }範囲は？
　　∴11≦x2 +6≦1999　　　　　　　}8≦x2 +6≦2000
　　　 5≦x2 ≦1993　　　　　　　　}2≦x2 ≦1994
　　　 3≦x≦43　(xは素数だから） }√2≦x≦√1994
　　　　　　　　　　　　　　　　　}１＜ｘ＜４５
　　　　　　　　　　　　　　　　　}ｘは素数だから（ｘ＝２も含めて）
　　この間のxの素数　x=3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43 に対して 
　　x2 +6が素数となるのは(計算が面倒です） 
　　　x=5　(x2 +6=31) 
　　　x=11(x2 +6=127) 
　　　x=19(x2 +6=367) 
　　　x=31(x2 +6=967) 
　　の4個で、
　　(α,β)=(5+2i,3+5i),(11+2i,3+11i),(19+2i,3+19i),(31+2i,3+31i)

【体積】

 △ABDにおいて、AからBDに下ろした垂線の足をF、△BCDにおいて、Fか
らBDに立てた垂線がBCと交わる点をEとする。 
∠CBD=α,∠ABC=βとする。 

余弦定理を使って、各線分や角の大きさを計算すると、次のようになる。 
BC2 ＝２2 ＋ｘ2 －２・２・ｘcos60より、
BC=√(x2 -2x+4) 
AF=2sin60=√3,BF=2cos60=1,EF=tanα,BE=1/cosα 
　　　　４ｘ2 ＋（ｘ2 －２ｘ＋４）－４
cosα＝───────────────
　　　　２・２ｘ・√（ｘ2 －２ｘ＋４）

　　　　　　　５ｘ2 －２ｘ
　　　＝──────────────
　　　　４ｘ・√（ｘ2 －２ｘ＋４）

　　　　　　　５ｘ－２
　　　＝─────────────
　　　　４・√（ｘ2 －２ｘ＋４）

sin2 α＝１－cos2 αより、
　　　　　√(60-12x-9x2 )
sinα=───────────
　　　　　４√(x2 -2x+4)

　　　　（ｘ2 －２ｘ＋４）＋４－ｘ2 
cosβ＝───────────────
　　　　　２・２・√(x2 -2x+4)

　　　　　　　－２ｘ＋８
　　　＝──────────
　　　　　４・√(x2 -2x+4)

　　　　　　　－ｘ＋４
　　　＝──────────
　　　　　２・√(x2 -2x+4)}sin2 β＝１－cos2 βより、
　　　　　　　√３ｘ
sinβ=───────────
　　　　　２・√(x2 -2x+4)

　　　　　　１　　　　　　　　１
AE2 ＝４＋────－２・２・───・cosβ
　　　　　cos2 α　　　　　　cosα

∠AFE=θとすると、
　　　　AF2 ＋FE2 －AE2 
cosθ＝─────────
　　　　２・AF・FE

　　　　（√３）2 ＋tan2 α－AE2 
　　　＝─────────────
　　　　　　　２・√３・tanα

　　　　　　　　　　　4cos2 α+1-4cosαcosβ
　　　　　3+tan2 α－────────────
　　　　　　　　　　　　　　cos2 α
　　　＝───────────────────
　　　　　　　　　　2√3 tanα 

　　　　　３cos2 α＋sin2 α－４cos2 α－１＋４cosαcosβ
　　　＝──────────────────────────
　　　　　　　　　　　２√３sinαcosα

　　　　sin2 α－cos2 α－（sin2 α＋cos2 α）＋４cosαcosβ
　　　＝──────────────────────────
　　　　　　　　　　　２√３sinαcosα

　　　　　－２cos2 α＋４cosαcosβ
　　　＝─────────────────
　　　　　　　２√３sinαcosα

　　　　　２cosβ－cosα
　　　＝─────────
　　　　　　√３sinα
sin2 θ＝１－cos2 θより、
　　　　　　　（２cosβ－cosα）2 
sin2 θ＝１－────────────
　　　　　　　　　３sin2 α
この式に上で求めた各値を代入して、sin2 θを計算すると、
　　　　　-12x2 +32x-16
sin2 θ＝────────
　　　　　20-4x-3x2 
したがって、
　　　　√（-12x2 +32x-16）
sinθ＝────────────
　　　　　√（20-4x-3x2 ）

Aから下ろした三角錐の高さをhとすると 
　　　　　　　　　√｛３・（-12x2 +32x-16）｝
ｈ＝√３・sinθ＝───────────────
　　　　　　　　　　　√（20-4x-3x2 ）

△BCDの面積Sは　　　１　　　　　　　１
　Ｓ＝─・BD・BCsinα=─・ｘ・√｛３・(20-4x-3x2 )｝
　　　２　　　　　　　４
体積は、三角錐だから底面積×高さ÷３より、
　　１　ｘ　√｛3(20-4x-3x2 )｝　√｛3(-12x2 +32x-16)｝
Ｖ＝─・─・──────────・───────────
　　３　４　　　　　　１　　　　　√(-20-4x-3x2 )

　　ｘ
　＝─・√｛４(-3x2 +8x-4)｝
　　４

　　ｘ
　＝─・√(-3x2 +8x-4)
　　２

-3x2 +8x-4>0より、解は、2/3＜x＜2 の範囲となる。
ｘを√の中に入れて、√の中の4次式をf(x)とおいて、
f(x)=-3x4 +8x3 -4x2 
を微分して、
f′(x)＝-12x3 +24x2 -8x
　　　＝-4x(3x2 -6x+2)
f′(x)=0　より、ｘ＝０，３ｘ2 －６ｘ＋２＝０
解の公式より、
　　３±√（９－６）　３±√３
ｘ＝────────＝────
　　　　　３　　　　　　　３
2/3＜x＜2 の範囲内で増減表を作り、体積が最大となるxを求めると 

ｘ　　｜2/3 ｜………｜(3+√3)/3 ｜………｜２　｜
────────────────────────
f′(x)｜　　｜　＋　｜　　０　　｜　－　｜　　｜
────────────────────────
f(x)　｜　　｜増　加｜　最　大　｜減　少｜　　｜

　　　３＋√３
∴ｘ＝────　……（答）
　　　　　３