質問＜３４７５＞２００６／１２／５
from=チャムっ子
「３変数関数」

x=rsinθcosψ,y=rsinθsinψ,z=rcosθのとき、
３変数関数u=u(x,y,z)に対し次の等式が成立することを示せ。

∂^2u/∂x^2＋∂^2u/∂y^2＋∂^2u/∂z^2
＝1/r^2sinθ{sinθ∂/∂r(r^2∂u/∂r)＋∂/∂θ(sinθ∂u/∂θ)＋1/sinθ×∂^2u/∂ψ^2}

★希望★完全解答★

お便り２００６／１２／２２
from=soredeha

x＝r cosθ,y＝r sinθのとき、
２変数関数　u＝u(x,y)　に対し次の等式が成立することは既知とする。
∂^2u/∂x2＋∂^2u/∂y2＝∂^2u/∂r2＋(1/r)∂u/∂r＋(1/r)2∂^2u/∂θ^2
r,θ を　ρ、ψ　に置き換えると 
x＝ρcosψ、y＝ρsinψ　のとき
３変数関数　u＝u(x,y,z)　に対し次の等式が成立する.
∂^2u/∂x2＋∂^2u/∂y2＝∂^2u/∂ρ^2＋(1/ρ)∂u/∂ρ＋(1/ρ)2∂^2u/∂ψ^2
両辺に　∂^2u/∂z2　を加えると
∂^2u/∂x2＋∂^2u/∂y2＋∂^2u/∂z2
　　　＝∂^2u/∂z2＋∂^2u/∂ρ^2＋(1/ρ)∂u/∂ρ＋(1/ρ)2∂^2u/∂ψ^2 
更に  z=rcosθ、ρ＝rsinθ　とすると 　
既知式で、x,y を　z,ρに代えて  
∂^2u/∂z2＋∂^2u/∂ρ^2＝∂^2u/∂r2＋(1/r)∂u/∂r＋(1/r)2∂^2u/∂θ^2　----- (1)

また  ∂u/∂r＝cosθ∂u/∂z＋sinθ∂u/∂ρ
      ∂u/∂θ＝-rsinθ∂u/∂z＋rcosθ∂u/∂ρ
∂u/∂z　を消去すると 
∂u/∂ρ＝sinθ∂u/∂r＋(cosθ/r)∂u/∂θ　-----(2)

(1) (2) を代入すると
∂^2u/∂x2＋∂^2u/∂y2＋∂^2u/∂z2
　　　＝[∂^2u/∂r2＋(1/r)∂u/∂r＋(1/r)2∂^2u/∂θ^2]
　　　　　　　＋(1/ρ)[sinθ∂u/∂r＋(cosθ/r)∂u/∂θ]＋(1/ρ)2∂^2u/∂ψ^2 
　　　＝∂^2u/∂r2＋(2/r)∂u/∂r＋(1/r)2∂^2u/∂θ^2  
　　　　　　　＋(cosθ/r^2sinθ)∂u/∂θ＋(1/ρ)2∂^2u/∂ψ^2
これは、問題の右辺と一致する。