質問<3488>2006/12/19
次の問いについて詳しく教えて下さい。 ①関数y=x^2+2x+3(0≦x≦1)の逆関数とその定義域と値域を求めよ。 ②関数y=2x-1/x-1(0>1)の逆関数とその定義域と値域を求めよ。 ★希望★完全解答★
お便り2006/12/22
from=S~(社会人)
○ y=x^2+2x+3 ( 0≦x≦1 ) について、 (イ) y′=2x+2>0 であるから、 y は定義域で単調に増加する。 したがって、一つの y の値に対し x がただ一つ決まるから、 x は y の関数となり得る。 すなわち,逆関数が存在する。 (ロ) 与式を x について解くと、 x は負ではないから x=-1+√(y-2) ( x=-1-√(y-2) の方は取らない。 ) これは x を y の関数で表していることになる。 このとき、 y は単調増加関数であったから、定義域 [0,1] に対して 3≦y≦6 となり √(y-2) が実数であり、また x≧0 が保証されてい る。 しかして後、この式を xy 座標平面の記述に書き換えると、 y=-1+√(x-2) これが求める逆関数である。 … ( 答 ) (ハ) 与式は (x、y)=(0,3)、(1,6) なる座標を両端点に持つ単 調増加関数であったから、 3≦y≦6 よって、書き換えた逆関数の x についても 3≦x≦6 で、これが逆関数の定 義域となる。 … ( 答 ) (ニ) 与式について 0≦x≦1 であったから、書き換えた逆関数の y につ いても 0≦y≦1 で、これが逆関数の値域となる。 … ( 答 ) ○ y=(2x-1)/(x-1)=2+{1/(x-1)} ( ここで y>2 で あることが判る、問題の定義域は多分 x>1 だと思われます。 ) … (1) と変形すると、 (イ) y′=-1/(x-1)^2<0 であるから、定義域で y は単調に減少する。 したがって、一つの y の値に対して、ただ一つの x が決まり、 x は y の関数となり得る。( 逆関数の存在の確認。 ) (ロ) (1) を x について解くと、 x=1+{1/(y-2)} ( y≠2、 x が y の関数で表された。 ) これを xy 座標平面の記述に書き換えると、 y=1+{1/(x-2)}=(x-1)/(x-2) これが求める逆関数である。 … ( 答 ) (ハ) 先に、 y>2 であったから逆関数の表記では x>2 となり、これが 逆関数の定義域である。 … ( 答 ) (ニ) また、元の関数の定義域が x>1 であったから逆関数の表記では y>1 となり、これが逆関数の値域である。 … ( 答 ) ※ 逆関数は、グラフを描いて考えると良く判ると思います。