質問＜３４８８＞２００６／１２／１９
from=みかん
「関数」

　次の問いについて詳しく教えて下さい。

①関数y=ｘ＾2+2ｘ+3（0≦ｘ≦1）の逆関数とその定義域と値域を求めよ。
②関数y=2ｘ-1/ｘ-1（0＞1）の逆関数とその定義域と値域を求めよ。

★希望★完全解答★

お便り２００６／１２／２２
from=S~（社会人）

○　ｙ＝ｘ^2＋２ｘ＋３　（ ０≦ｘ≦１ ）　について、

（イ）　ｙ′＝２ｘ＋２＞０　であるから、　ｙ　は定義域で単調に増加する。
したがって、一つの　ｙ　の値に対し　ｘ　がただ一つ決まるから、　ｘ　は　ｙ　
の関数となり得る。
すなわち，逆関数が存在する。

（ロ）　与式を　ｘ　について解くと、　ｘ　は負ではないから　ｘ＝－１＋√（ｙ－２）
（ ｘ＝－１－√（ｙ－２）　の方は取らない。 ）
これは　ｘ　を　ｙ　の関数で表していることになる。
 このとき、　ｙ　は単調増加関数であったから、定義域　［０，１］　に対して
３≦ｙ≦６　となり　√（ｙ－２）　が実数であり、また　ｘ≧０　が保証されてい
る。
しかして後、この式を　ｘｙ　座標平面の記述に書き換えると、　y＝－１＋√（ｘ－２）
これが求める逆関数である。　…　（ 答 ）

（ハ）　与式は　（ｘ、ｙ）＝（０，３）、（１，６）　なる座標を両端点に持つ単
調増加関数であったから、　３≦ｙ≦６
よって、書き換えた逆関数の　ｘ　についても　３≦ｘ≦６　で、これが逆関数の定
義域となる。　…　（ 答 ）

（ニ）　与式について　０≦ｘ≦１　であったから、書き換えた逆関数の　ｙ　につ
いても　０≦ｙ≦１　で、これが逆関数の値域となる。　…　（ 答 ）

○　y＝（２x－１）／（x－１）＝２＋｛１／（x－１）｝　（ ここで　ｙ＞２　で
あることが判る、問題の定義域は多分　ｘ＞１　だと思われます。 ）　…　（１）
　と変形すると、

（イ）　ｙ′＝－１／（x－１）^2＜０
であるから、定義域で　ｙ　は単調に減少する。
したがって、一つの　ｙ　の値に対して、ただ一つの　ｘ　が決まり、　ｘ　は　ｙ
　の関数となり得る。（ 逆関数の存在の確認。 ）

（ロ）　（１）　を　ｘ　について解くと、　ｘ＝１＋｛１／（y－２）｝　（ ｙ≠２、
　ｘ　が　ｙ　の関数で表された。 ）
これを　ｘｙ　座標平面の記述に書き換えると、
ｙ＝１＋｛１／（x－２）｝＝（x－１）／（x－２）
これが求める逆関数である。　…　（ 答 ）

（ハ）　先に、　ｙ＞２　であったから逆関数の表記では　ｘ＞２　となり、これが
逆関数の定義域である。　…　（ 答 ）

（ニ）　また、元の関数の定義域が　ｘ＞１　であったから逆関数の表記では　ｙ＞１　
となり、これが逆関数の値域である。　…　（ 答 ）

※ 逆関数は、グラフを描いて考えると良く判ると思います。