質問＜３５５＞２０００／１１／１２
from=もあい
「入試問題・行列」

行列Ａ＝（a  b）は、ある自然数ｎに対してＡn ＝０
　　　　（c  d) 
となるとする。ただし、０は零行列である。
(1)ａd－bc＝0を証明せよ。
(2)もしｂ＝0ならば、ａ＝ｄ＝0となることを証明せよ。
(3)もしｂ≠0ならば、
　　Ｐ＝(1　    0)
　　　　(－a/b  1)として、Ｐ-1ＡＰを計算することによって、
　　ａ＋ｄ＝0を証明せよ。
(4)Ａ2 ＝０を証明せよ。　　［00　東京都立大・理、工〕

お返事２０００／１１／１３
from=武田

２次正方行列Ａ≠零行列Ｏで、かつＡn ＝Ｏの条件の下で、
次を証明していく。
そのとき役立つのが、ケーリー・ハミルトンの定理である。
それは、「任意の２次正方行列Ａに対して、
Ａ2 －（ａ＋ｄ）Ａ＋（ａｄ－ｂｃ）Ｅ＝Ｏが成り立つ。」という
ものです。

問１
ａｄ－ｂｃ≠０ならば、ｄｅｔＡ≠０なので、逆行列Ａ-1がある。
条件Ａn ＝Ｏの両辺にＡ-1を（ｎ－１）回掛けると、
Ａn ・（Ａ-1）n-1＝Ｏ・（Ａ-1）n-1
∴Ａ＝Ｏ
ａ＝ｂ＝ｃ＝ｄ＝０より、ａｄ－ｂｃ＝０
仮定に反するから、
Ａn ＝Ｏとなるのは、ａｄ－ｂｃ＝０である。

問２
ａｄ－ｂｃ＝０で、かつｂ＝０ならば、ａｄ＝０∴ａ＝０またはｄ＝０
いま、ａ＝０とすると、ケーリー・ハミルトンの定理より、
Ａ2 －ｄＡ＝Ｏ
Ａ2 ＝ｄＡ
両辺にＡを掛けると、
Ａ3 ＝ｄＡ2 ＝ｄ2 Ａ
これより、
両辺にＡn-2を掛けると、
Ａn ＝ｄＡn-1＝ｄn-1Ａ
左辺は条件より、Ａn ＝Ｏ
Ａ≠Ｏより、
∴ｄ＝０
したがって、ａ＝ｄ＝０

問３
ａｄ－ｂｃ＝０で、かつｂ≠０のとき、
Ｐ＝（１　　０）とＰ-1＝（１　　０）
　　（-a/b　１）　　　　（a/b　 １）
をＡの左と右から掛けて、
Ｐ-1ＡＰ＝（１　　０）（ａ　　ｂ）（１　　０）
　　　　　（a/b　 １）（ｃ　　ｄ）（-a/b　１）

　　　　＝（０　　ｂ　）
　　　　　（０　ａ＋ｄ）
両辺をｎ乗すると、左辺は
（Ｐ-1ＡＰ）n ＝Ｐ-1Ａn Ｐ＝Ｐ-1ＯＰ＝Ｏ
右辺は
（０　　ｂ　）n ＝（ａ＋ｄ）n-1（０　　ｂ　）
（０　ａ＋ｄ）　　　　　　　　（０　ａ＋ｄ）
ｂ≠０より、（０　　ｂ　）≠Ｏ
　　　　　　（０　ａ＋ｄ）
∴ａ＋ｄ＝０

問４
ｂ＝０であってもｂ≠０であっても、ａ＋ｄ＝０
ａｄ－ｂｃ＝０かつａ＋ｄ＝０のとき、
ケーリー・ハミルトンの定理より、
Ａ2 －０・Ａ＋０・Ｅ＝Ｏ
∴Ａ2 ＝Ｏ