質問<3585>2007/7/31
つぎの問題において、以下のように証明してみました。 不備がありましたら、ご指摘ください。 ―――――――――――――――――――――――――――――――――――― n次正方行列に関して次の[1]~[5]はすべて同値であることを証明せよ。 [1]Aは正則 [2] |A|≠0 [3] rankA=n [4]Aのn個の列ベクトルは1次独立 [5]AB=Eを満たすn次正方行列Bが存在する ―――――――――――――――――――――――――――――――――――― [1]→[2] Aが正則であるから、Aには逆行列が存在し、AA-1=Eとなる。 |AA-1|=|E|より、|A||A-1|=1≠0となり、|A|≠0であることがわかる。 以上より、Aが正則ならば|A|≠0である。 [2]→[3] P、Qを正則行列として、 |Er 0| PAQ=| | としたとき、 |0 0| Aがn次正方行列なので、P、Q および右辺の行列もn次の正方行列である。 |Er 0| |A|≠0より|PAQ|≠0で | |≠0となり、r=nなり、rankA=nが言える。 |0 0| 以上より|A|≠0ならば、rankA=nである。 [3]→[4] Aがn次正方行列でrankA=nより、 Aに基本変形を行い階段行列を作っていくと、最終的にn行n列の単位行列にできる。 よって、単位行列のn個の各列ベクトルは、単位基底であるので1次独立である。 以上より、rankA=nならば、Aのn個の列ベクトルは1次独立である。 [4]→[5] Aの列ベクトルをa1、a2、・・・、 anとする。 また、x1、x2、・・・・・、xnをスカラーとして、 x1a1+x2a2+・・・・+xnan=0・・・①とする。 a1、a2、・・・・、anが1次独立であるので、 ①式中のxi(i=1、2、・・・n)はすべて0となる。 このとき|A|=0であると、xiが自明な解以外の解を持ってしまうので |A|≠0である必要がある。|A|≠0であれば、A-1が存在し、AA-1=Eとなる。 このとき、A-1=Bとすれば、AB=Eとなる。 以上より、Aのn個の列ベクトルが1次独立ならば、 AB=Eを満たすn次正方行列Bが存在する。 [5]→[1] AB=Eより、|A||B|=1 つまり|B|≠0。このことよりBC=Eとなる行列Cが存在する。 C=EC=(AB)C=A(BC)=AE=A。 ここで、BA=Eであることがわかる。 AB=EのBとBA=EのBが同じであり、Aに対して、Bが1つしか存在しない。 よって、BがAの逆行列であることがわかる。 Aに逆行列が存在するということは、Aは正則である。 以上よりAB=Eを満たすn次正方行列が存在すれば、Aは正則である。 ★希望★完全解答★
お便り2007/9/27
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