質問

つぎの問題において、以下のように証明してみました。
不備がありましたら、ご指摘ください。
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ｎ次正方行列に関して次の[1]～[5]はすべて同値であることを証明せよ。
[1]Aは正則　[2] |A|≠０　[3] rankA＝ｎ
[4]Aのｎ個の列ベクトルは１次独立
[5]AB＝Eを満たすｎ次正方行列Bが存在する
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[１]→[２]
Aが正則であるから、Aには逆行列が存在し、AA-1＝Eとなる。
|AA-1|=|E|より、|A||A-1|＝1≠０となり、|A|≠０であることがわかる。
以上より、Aが正則ならば|A|≠０である。

[２]→[３]
P、Qを正則行列として、
　　　　 |Er　０|
PAQ＝|      | としたとき、
　　　　 |０　０|
Aがｎ次正方行列なので、P、Q　および右辺の行列もｎ次の正方行列である。
　　　　　　　　　　　　　　|Er　０|
|A|≠０より|PAQ|≠０で  |      |≠０となり、ｒ=ｎなり、rankA=ｎが言える。
　　　　　　　　　　　　　　|０　０|

以上より|A|≠０ならば、rankA=ｎである。

[３]→[４]
Aがｎ次正方行列でrankA=ｎより、
Aに基本変形を行い階段行列を作っていくと、最終的にｎ行ｎ列の単位行列にできる。 

よって、単位行列のｎ個の各列ベクトルは、単位基底であるので１次独立である。
以上より、rankA=ｎならば、Aのｎ個の列ベクトルは１次独立である。

[４]→[５]
Aの列ベクトルをa1、a2、・・・、 anとする。
また、x1、x2、・・・・・、xnをスカラーとして、
x1a1+x2a2+・・・・+xnan=０・・・①とする。
a1、a2、・・・・、anが１次独立であるので、
①式中のｘi(i=1、2、・・・ｎ）はすべて０となる。
このとき|A|=０であると、ｘiが自明な解以外の解を持ってしまうので
|A|≠０である必要がある。|A|≠０であれば、A-1が存在し、AA-1=Eとなる。
このとき、A-1＝Bとすれば、AB=Eとなる。

以上より、Aのｎ個の列ベクトルが1次独立ならば、
AB=Eを満たすｎ次正方行列Bが存在する。

[５]→[1]
AB=Eより、|A||B|=1　つまり|B|≠０。このことよりBC=Eとなる行列Cが存在する。
C＝EC＝(AB)C＝A（BC)＝AE＝A。
ここで、BA=Eであることがわかる。
AB=EのBとBA=EのBが同じであり、Aに対して、Bが１つしか存在しない。
よって、BがAの逆行列であることがわかる。
Aに逆行列が存在するということは、Aは正則である。

以上よりAB=Eを満たすｎ次正方行列が存在すれば、Aは正則である。

★希望★完全解答★
お便り２００７／９／２７
from=cqzypx