質問＜３５９８＞２００７／８／２９
from=まぶち
「関数の最小値と変曲点の個数」

いつもお世話になっております。
以下の問題をよろしくお願い致します。

関数f(x)=cx/(x^2+ax+b)はx=1で最小値1/2をとる。
(1) aをｃで表せ。またbの値を調べよ。 
(2) この関数の変曲点の個数を調べよ。

★希望★完全解答★

お便り２００７／９／８
from=UnderBird

問題を考えていて、最小値でなく最大値ではないかと思うのですが、問題をもう一度
確認してもらえませんか？
a=2c-2,b=1 となるようですが・・・。

お便り２００７／９／２７
from=cqzypx

お便り２００７／１０／４
from=ここなっつ

3598の問題ですが、どうしても変曲点の個数の調べ方がわかりません。
どのようにすれば解答を導けるのか解き方を教えてください。

お便り２００７／１２／２５
from=平　昭

　こんにちは。計算と場合分けが面倒な問題ですね。
分数関数は、

　分母＝０となるｘの値が存在するのか？
　するならその値付近での、分母の正負は？
　などによってグラフ全体の形が変わってくるのでやっかいです。

　また、他の方も書いていらっしゃいましたが、
問題文の「最小値」はおそらく間違いでしょう。
たぶん「極小値」か「最大値」のどちらかではないでしょうか。

　さて、解答です。なるべく必要条件で押し、十分性は後から
検討する、という方針で行きます。

（１）
　ｆ（ｘ）＝ｃｘ／（ｘ＾２＋ａｘ＋ｂ）を微分して

　ｆ’（ｘ）＝ｃ（ｂ－ｘ＾２）／（ｘ＾２＋ａｘ＋ｂ）＾２
ｆ（ｘ）はｘ＝１で最小値１／２をとるから

　ｆ’（１）＝０、かつｆ（１）＝１／２が必要。
この時
　　ｆ’（１）＝ｂ－１＝０　つまりｂ＝１
また
　ｆ（１）＝ｃ／（ａ＋２）＝１／２
　よって
　ａ＝２ｃ－２　かつａ＝－２でない。ｃは０でない。、、、（１）の解答

（２）（１）の結果より

　ｆ（ｘ）＝ｃｘ／（ｘ＾２＋ａｘ＋１）
　ｆ’（ｘ）＝ｃ（１－ｘ＾２）／（ｘ＾２＋ａｘ＋１）＾２　と書ける。
　さらに微分して
　ｆ’’（ｘ）＝２ｃ（ｘ＾３－３ｘ－ａ）／（ｘ＾２＋ａｘ＋１）＾３
（計算は省略します。けっこう面倒でした。）

　さて、ｆ（ｘ）はｘ＝１で最小値をとるから
　ｆ’’（１）＞０が必要。

　ここでｆ’’（１）＝２ｃ（－２－ａ）／（２＋ａ）＾３　
　であり、ａ＋２＝２ｃに注意すれば
　ｆ’’（１）＝－４ｃ＾２）／８ｃ＾３＝ －１／２ｃ
　
　結局、ｃ＜０が必要となる。

　ここでｆ（ｘ）の分母＝（ｘ＾２＋ａｘ＋１）＝ｇ（ｘ）と置くと
　方程式　ｇ（ｘ）＝０について、判別式をＤとすれば
　ａ＝２（ｃ－１）より
　Ｄ＝ａ＾２－４＝４（ｃ－１）＾２－４
　よって、ｃ＜０のとき　Ｄ＞０で、
　ｇ（ｘ）＝０は相異なる２解を持つ。
　その解をα、β（α＜β）と置けば
α＋β＝－２（ｃ－１）＞０、αβ＝１を考えて
０＜α＜１＜βとなる。

　さてこの時、ｆ（ｘ）のグラフの概形を考えると、
　ｘ－α→＋０　と　ｘ－β→－０の時　
　ｇ（ｘ）→－０でかつｃｘ＜０であるから　ｆ（ｘ）→正の無限大
　
　ｘ－α→－０とｘ－β→＋０の時
　ｇ（ｘ）→＋０でかつｃｘ＜０であるから　ｆ（ｘ）→負の無限大
　
　さらにｘ→正の無限大の時　ｆ（ｘ）→－０
　　　　ｘ→負の無限大の時　ｆ（ｘ）→＋０

★よって、ｆ（ｘ）はｘ＝１で極小値１／２は取るものの、
ｆ（ｘ）の最小値は存在せず、問題が間違っていると分かった。（＾＿＾；）

さて、気を取り直して、
問題文の「最小値」を「極小値」と読み替える。
変曲点の個数を調べるには、
方程式　ｆ’’（ｘ）＝０の解の個数を調べればよい。

　ｆ’’（ｘ）＝２ｃ（ｘ＾３－３ｘ－ａ）／（ｘ＾２＋ａｘ＋１）＾３で、

　ｆ’’（ｘ）が０になるのは
　ｘ＾３－３ｘ－ａ＝ｘ＾３－３ｘ－２（ｃ－１）＝０の時。
　ここでｈ（ｘ）＝ｘ＾３－３ｘと置けば、
　ｈ（ｘ）はｘ＝－１で極大値２、ｘ＝１で極小値－２を取る。

　微分して増減表を書くことにより、
グラフの概形を書けば、ｈ（ｘ）＝２（ｃ－１）の解は、

　２（ｃ－１）＜－２で１個、２（ｃ－１）＝－２で２個、
－２＜２（ｃ－１）＜２で３個、２（ｃ－１）＝２で２個、２＜２（ｃ－１）で１個。
と分かる。整理すれば

ｃ＜０で１個、ｃ＝０で２個、
０＜ｃ＜２で３個、ｃ＝２で２個、２＜ｃで１個。
ただし、ｃ＝０は題意に適さない。

この場合、ｃ＜０なので解は１個。

この解をγとおくと、グラフを考えれば、
　γ＜－１＜０＜α＜β
（α、βはｆ’’（ｘ）の分母＝ｇ（ｘ）が０になる値だが、
これはｆ’’（ｘ）の分母が０になる値と同じ）は明らかで、
γの周辺でｆ’’（ｘ）の分母は常に正の値をとるから、
ｆ’’（ｘ）の正負はγを境に変わる。

よって、γはｆ（ｘ）の変曲点である。

★★　結局、ｆ（ｘ）の変曲点は１個。
＝問題文を「極小値」と修正した場合の（２）の答＝


　さらに気を取り直して（＾＿＾；）


　問題文の「最小値」を「最大値」と読み替える。
この場合、（１）の答えは変わらない。
（１）で使った条件
　ｆ’（１）＝０、かつｆ（１）＝１／２
は実際には
「ｆ（ｘ）はｘ＝１で極値１／２をとる」ことしか意味しないから。
よって
ａ＝２ｃ－２　かつ、ａ＝－２でない。つまりＣ＝０でない。、、（１）の解答

（２）の計算も同様になるが、

　ｆ（ｘ）はｘ＝１で「最大値」１／２をとるだと

今度は　ｆ’’（１）＜０　が必要。
このときｃ＞０となる。

ｆの分母ｇ（ｘ）＝（ｘ＾２＋ａｘ＋１）の判別式は

　Ｄ＝ａ＾２－４＝４（ｃ－１）＾２－４　で

　０＜ｃ＜２ で　Ｄ＜０
  Ｃ＝２　 で  Ｄ＝０
  ２＜ｃ   で  Ｄ＞０
　
　である。

Ｄ＜０の時、常にｇ（ｘ）＞０で
　　　　ｘ→正の無限大の時　ｆ（ｘ）→＋０
　　　　ｘ→負の無限大の時　ｆ（ｘ）→－０
　となる。これと、
　ｆ’（ｘ）の符号の変化を考え合わせてグラフの概形を考えると、
　ｆ（ｘ）は確かに、ｘ＝１で「最大値」１／２をとる。

　この時、０＜ｃ＜２であり、
「問題文を「極小値」とした場合の（２）」
　の考察を適用すれば、
　ｆ’’（ｘ）＝０は３個の相異なる解を持つ。
　ｆ’’（ｘ）の分母は常に正であるから、
　ｆ’’（ｘ）の符号は解の前後で（－１必ず入れ替わる。
　つまりこの時、変曲点の個数は３個である。、、、①

 Ｄ＝０の時、ｃ＝２で
　ｆ（ｘ）＝２ｘ／（ｘ＋１）＾２

　ｘが正の方から－１に近づいても、負の方から近づいても共に
　ｆ（ｘ）→負の無限大となる。
　また　ｘ→正の無限大の時　ｆ（ｘ）→＋０
　　　　ｘ→負の無限大の時　ｆ（ｘ）→－０
　である。

　これらとｆ’（ｘ）の符号の変化を考え合わせてグラフの概形を考えると、
　ｆ（ｘ）は確かに、ｘ＝１で「最大値」１／２をとる。
　こ
　この時　ｆ’’（ｘ）＝４（ｘ＾３－３ｘ－２）／（ｘ＾２＋２ｘ＋１）＾３
　　　　　　　　＝４（ｘ＋１）＾２（ｘ－２）／（ｘ＋１）＾６
　　　　　　　　＝０
の解はｘ＝２のみ。（ｘ＝－１は分母が０となる値で解ではない）
　
　分母はｘ＝－１以外では常に正だから、ｆ’’（ｘ）の正負はｘ＝２の前後で
入れ替わる。

　つまりこの時、変曲点の個数は１個、、、②

Ｄ＞０の時ｃ＞２

　ｇ（ｘ）＝０は相異なる２解を持つ。
　その解をα、β（α＜β）と置けば
　α＋β＝－２（ｃ－１）＜０、αβ＝１を考えて
　α＜－１＜β＜０となる。

　この時、α＜ｘ＜βでｇ（ｘ）＜０を考えれば
　ｘ－α→＋０　と　ｘ－β→－０の時　
　ｇ（ｘ）→－０でかつ ｆ（ｘ）の分子＝ｃｘ＜０であるから　
　
　ｆ（ｘ）→正の無限大　となって最大値は存在せず
　「修正した」題意に合わない。

　以上をまとめると
★★★　変曲点の個数は　０＜ｃ＜２で３個、ｃ＝２で１個。
＝問題文を「最大値」と修正した場合の（２）の解答＝

　ふぅーーっ。読んで下さった方、お疲れさまでした。（＾＿＾）