質問<3598>2007/8/29
いつもお世話になっております。 以下の問題をよろしくお願い致します。 関数f(x)=cx/(x^2+ax+b)はx=1で最小値1/2をとる。 (1) aをcで表せ。またbの値を調べよ。 (2) この関数の変曲点の個数を調べよ。 ★希望★完全解答★
お便り2007/9/8
from=UnderBird
問題を考えていて、最小値でなく最大値ではないかと思うのですが、問題をもう一度 確認してもらえませんか? a=2c-2,b=1 となるようですが・・・。
お便り2007/9/27
from=cqzypx
お便り2007/10/4
from=ここなっつ
3598の問題ですが、どうしても変曲点の個数の調べ方がわかりません。 どのようにすれば解答を導けるのか解き方を教えてください。
お便り2007/12/25
from=平 昭
こんにちは。計算と場合分けが面倒な問題ですね。 分数関数は、 分母=0となるxの値が存在するのか? するならその値付近での、分母の正負は? などによってグラフ全体の形が変わってくるのでやっかいです。 また、他の方も書いていらっしゃいましたが、 問題文の「最小値」はおそらく間違いでしょう。 たぶん「極小値」か「最大値」のどちらかではないでしょうか。 さて、解答です。なるべく必要条件で押し、十分性は後から 検討する、という方針で行きます。 (1) f(x)=cx/(x^2+ax+b)を微分して f’(x)=c(b-x^2)/(x^2+ax+b)^2 f(x)はx=1で最小値1/2をとるから f’(1)=0、かつf(1)=1/2が必要。 この時 f’(1)=b-1=0 つまりb=1 また f(1)=c/(a+2)=1/2 よって a=2c-2 かつa=-2でない。cは0でない。、、、(1)の解答 (2)(1)の結果より f(x)=cx/(x^2+ax+1) f’(x)=c(1-x^2)/(x^2+ax+1)^2 と書ける。 さらに微分して f’’(x)=2c(x^3-3x-a)/(x^2+ax+1)^3 (計算は省略します。けっこう面倒でした。) さて、f(x)はx=1で最小値をとるから f’’(1)>0が必要。 ここでf’’(1)=2c(-2-a)/(2+a)^3 であり、a+2=2cに注意すれば f’’(1)=-4c^2)/8c^3= -1/2c 結局、c<0が必要となる。 ここでf(x)の分母=(x^2+ax+1)=g(x)と置くと 方程式 g(x)=0について、判別式をDとすれば a=2(c-1)より D=a^2-4=4(c-1)^2-4 よって、c<0のとき D>0で、 g(x)=0は相異なる2解を持つ。 その解をα、β(α<β)と置けば α+β=-2(c-1)>0、αβ=1を考えて 0<α<1<βとなる。 さてこの時、f(x)のグラフの概形を考えると、 x-α→+0 と x-β→-0の時 g(x)→-0でかつcx<0であるから f(x)→正の無限大 x-α→-0とx-β→+0の時 g(x)→+0でかつcx<0であるから f(x)→負の無限大 さらにx→正の無限大の時 f(x)→-0 x→負の無限大の時 f(x)→+0 ★よって、f(x)はx=1で極小値1/2は取るものの、 f(x)の最小値は存在せず、問題が間違っていると分かった。(^_^;) さて、気を取り直して、 問題文の「最小値」を「極小値」と読み替える。 変曲点の個数を調べるには、 方程式 f’’(x)=0の解の個数を調べればよい。 f’’(x)=2c(x^3-3x-a)/(x^2+ax+1)^3で、 f’’(x)が0になるのは x^3-3x-a=x^3-3x-2(c-1)=0の時。 ここでh(x)=x^3-3xと置けば、 h(x)はx=-1で極大値2、x=1で極小値-2を取る。 微分して増減表を書くことにより、 グラフの概形を書けば、h(x)=2(c-1)の解は、 2(c-1)<-2で1個、2(c-1)=-2で2個、 -2<2(c-1)<2で3個、2(c-1)=2で2個、2<2(c-1)で1個。 と分かる。整理すれば c<0で1個、c=0で2個、 0<c<2で3個、c=2で2個、2<cで1個。 ただし、c=0は題意に適さない。 この場合、c<0なので解は1個。 この解をγとおくと、グラフを考えれば、 γ<-1<0<α<β (α、βはf’’(x)の分母=g(x)が0になる値だが、 これはf’’(x)の分母が0になる値と同じ)は明らかで、 γの周辺でf’’(x)の分母は常に正の値をとるから、 f’’(x)の正負はγを境に変わる。 よって、γはf(x)の変曲点である。 ★★ 結局、f(x)の変曲点は1個。 =問題文を「極小値」と修正した場合の(2)の答= さらに気を取り直して(^_^;) 問題文の「最小値」を「最大値」と読み替える。 この場合、(1)の答えは変わらない。 (1)で使った条件 f’(1)=0、かつf(1)=1/2 は実際には 「f(x)はx=1で極値1/2をとる」ことしか意味しないから。 よって a=2c-2 かつ、a=-2でない。つまりC=0でない。、、(1)の解答 (2)の計算も同様になるが、 f(x)はx=1で「最大値」1/2をとるだと 今度は f’’(1)<0 が必要。 このときc>0となる。 fの分母g(x)=(x^2+ax+1)の判別式は D=a^2-4=4(c-1)^2-4 で 0<c<2 で D<0 C=2 で D=0 2<c で D>0 である。 D<0の時、常にg(x)>0で x→正の無限大の時 f(x)→+0 x→負の無限大の時 f(x)→-0 となる。これと、 f’(x)の符号の変化を考え合わせてグラフの概形を考えると、 f(x)は確かに、x=1で「最大値」1/2をとる。 この時、0<c<2であり、 「問題文を「極小値」とした場合の(2)」 の考察を適用すれば、 f’’(x)=0は3個の相異なる解を持つ。 f’’(x)の分母は常に正であるから、 f’’(x)の符号は解の前後で(-1必ず入れ替わる。 つまりこの時、変曲点の個数は3個である。、、、① D=0の時、c=2で f(x)=2x/(x+1)^2 xが正の方から-1に近づいても、負の方から近づいても共に f(x)→負の無限大となる。 また x→正の無限大の時 f(x)→+0 x→負の無限大の時 f(x)→-0 である。 これらとf’(x)の符号の変化を考え合わせてグラフの概形を考えると、 f(x)は確かに、x=1で「最大値」1/2をとる。 こ この時 f’’(x)=4(x^3-3x-2)/(x^2+2x+1)^3 =4(x+1)^2(x-2)/(x+1)^6 =0 の解はx=2のみ。(x=-1は分母が0となる値で解ではない) 分母はx=-1以外では常に正だから、f’’(x)の正負はx=2の前後で 入れ替わる。 つまりこの時、変曲点の個数は1個、、、② D>0の時c>2 g(x)=0は相異なる2解を持つ。 その解をα、β(α<β)と置けば α+β=-2(c-1)<0、αβ=1を考えて α<-1<β<0となる。 この時、α<x<βでg(x)<0を考えれば x-α→+0 と x-β→-0の時 g(x)→-0でかつ f(x)の分子=cx<0であるから f(x)→正の無限大 となって最大値は存在せず 「修正した」題意に合わない。 以上をまとめると ★★★ 変曲点の個数は 0<c<2で3個、c=2で1個。 =問題文を「最大値」と修正した場合の(2)の解答= ふぅーーっ。読んで下さった方、お疲れさまでした。(^_^)