質問<3841>2013/01/09
平面上に点Oを中心とする半径1の円を考えて、その周上に点Aをとる。また、点PをO以外の点とする。直線OP上に、点Qを、OからみてPと同じ側にとり、OP・OQ=1となるようにする。この時次の問いに答えよ (1)ベクトルOQをベクトルOPを用いて表せ (2)|ベクトルOQ-ベクトルOA|=|ベクトルOP-ベクトルOA||ベクトルOQ|を示せ (3)点Pが点Aを中心とする半径r(0<r<1)の円周上を動くとき、点Qはある円周上を動くことを示せ。また、その円の半径を求めよ 考えたんですがわかりませんお願いします ★希望★完全解答★
お便り2013/01/10
from=平 昭
こんにちは。 動点Pの位置ベクトルをp、点Aの位置ベクトルをaと表すことにすると、 「PがAを中心とする円を描く」とはつまり、 pが |p-a|=c (c>0)を満たすことです。 同じことですが (p-a、p-a)=c^2 とも言えます。 これを知っていれば、易しい問題かと思います。 なお、以下の解答で「ベクトルOP」などの「ベクトル」という言葉は省略します。 (1) OQ=(OP/|OP|^2) (2) |OQ-OA|^2 =|(OP/|OP|^2)-OA|^2 =(|OP|^2/|OP|^4)-(2/|OP|^2)(OP,OA)+|OA|^2 ここで、|OA|^2=1だから 上式=1/|OP|^2(1-2(OP,OA)+|OP|^2) もう一度、1=|OA|^2を考えれば =1/|OP|^2(|OP|^2-2(OP,OA)+|OA|^2) =|OQ|^2 |OPーOA|^2 結局、|OQ-OA|^2=|OQ|^2 |OPーOA|^2で、 両辺の平方根を取れば題意は示された。 (3)|OPーOA|=rだから、(2)の式より |OQ-OA|^2=r^2 |OQ|^2 内積の形に書いて整理すれば (1-r^2)|OQ|^2-2(OQ,OA)+1=0 で、変形して |OQ-OA/(1-r^2)|^2=r^2/(1-r^2)^2 となる。 これより、QはベクトルOA/(1-r^2)の終点を中心とし、 半径r/(1-r^2)の円を描く。