質問＜３８４１＞２０１３／０１／０９
from=power
「ベクトル」

平面上に点Oを中心とする半径1の円を考えて、その周上に点Aをとる。また、点PをO以外の点とする。直線OP上に、点Qを、OからみてPと同じ側にとり、OP・OQ=1となるようにする。この時次の問いに答えよ
（1）ベクトルOQをベクトルOPを用いて表せ
 (2）｜ベクトルOQ－ベクトルOA｜=｜ベクトルOP－ベクトルOA｜｜ベクトルOQ｜を示せ
（3）点Pが点Aを中心とする半径r（0<r<1）の円周上を動くとき、点Qはある円周上を動くことを示せ。また、その円の半径を求めよ
考えたんですがわかりませんお願いします

★希望★完全解答★

お便り２０１３／０１／１０
from=平　昭

　こんにちは。
　動点Ｐの位置ベクトルをｐ、点Ａの位置ベクトルをａと表すことにすると、
「ＰがＡを中心とする円を描く」とはつまり、
ｐが　　|ｐ－ａ|＝ｃ　（ｃ＞０）を満たすことです。
同じことですが　（ｐ－ａ、ｐ－ａ）＝ｃ^2　とも言えます。

これを知っていれば、易しい問題かと思います。
なお、以下の解答で「ベクトルOP」などの「ベクトル」という言葉は省略します。

（１）　ＯＱ＝(ＯＰ／|ＯＰ|^2)
（２）
　|ＯＱ－ＯＡ｜^2
＝|(ＯＰ／|ＯＰ|^2)－ＯＡ｜^2
＝（|ＯＰ|^2／|ＯＰ|^4)－(２／|ＯＰ|^2)（ＯＰ，ＯＡ）＋|ＯＡ|^2

ここで、|ＯＡ|^2＝１だから

上式＝１／|ＯＰ|^2（１－２（ＯＰ，ＯＡ）＋|ＯＰ|^2）
　　もう一度、１＝|ＯＡ|^2を考えれば
　　＝１／|ＯＰ|^2（|ＯＰ|^2－２（ＯＰ，ＯＡ）＋|ＯＡ|^2）
　　＝|ＯＱ|^2 |ＯＰーＯＡ|^2

結局、|ＯＱ－ＯＡ｜^2＝|ＯＱ|^2 |ＯＰーＯＡ|^2で、
両辺の平方根を取れば題意は示された。

（３）|ＯＰーＯＡ|＝ｒだから、（２）の式より
|ＯＱ－ＯＡ｜^2＝r^2　|ＯＱ|^2
内積の形に書いて整理すれば
（1-r^2）|ＯＱ|^2－２（ＯＱ，ＯＡ）＋１＝０

で、変形して

|ＯＱ－ＯＡ/（1-r^2）|^2＝ｒ^2／(１－ｒ^2)^2
となる。

これより、ＱはベクトルＯＡ/（1-r^2）の終点を中心とし、
半径ｒ／（１－ｒ^2）の円を描く。