質問<3862>2013/10/12
△ABCの外心をOとすると、→OH=→OA+→OB+→OCを満たす点Hをとる。ただし、△ABCは直角三角形ではないとする。 (1) AH⊥BC、BH⊥CA,CH⊥ABを示せ (2) 辺BC、CA,ABの中点を順にD、E,F,線分AH,BH,CHの中点の順に、A1,B1,C1とする。 D、E、F、A1,B1,C1はOHの中点Mを中心とするある円K上にあることを示せ (3) AHとBC、BHとCA,CHとABの交点を順にP、Q、Rとするとき、P、Q、Rも 円k上にあることを示せ ★希望★完全解答★
お便り2013/11/20
from=tamori
3862の複素数を使った解き方の一例を書きます。 まず三角形ABCの各頂点を外心を0としてa,b,c(複素数)とします。|a|=|b|=|c| =Rとします。垂心hはa+b+cです。なぜならah垂直bc,bh垂直ac,ch垂直abがなりたつか らです。たとえば直線ahと辺bcは(a+b+c-a)/(b-c)=(b+c)/(b-c)とこの共役解と足す と(共役解を(_)を用いて表すと)(b+c)/(b-c)+(_b+_c)/(_b-_c)=2(|b|^2-|c| ^2)/(_b-_c)(b-c)=0つまりah垂直bcです。他も同様。 また三角形ABCの外接円とaからbcに下ろした垂線の延長が交わる点(p’とする)は -bc/aです。なぜなら|-bc/a|=|b||c|/|a|=Rなのでこの点は外接円上にあ り、また(-bc/a-a)/b-c) についてこの共役解は_a=R^2/a,_b=R^2/b,_c=R^2/cを用いると、 -((_b_c/_a)-_a)/(_b-_c)=((-R^2/b・R^2/c・ a/R^2)-R^2/a)/(R^2/b-R^2/c)=(a+bc/a)/(b-c)となり、この2つを足すと0になるの でP’と垂心を結ぶ直線は辺bcと垂直です。同様にbからacに下ろした垂線と外接円と の交点をq’とするとq’=-ac/b,cからabに下ろした垂線との交点をr’とするとr’ =-ab/cです。 またhp’の中点はpです。p=1/2(a+b+c-bc/a)とするとpbとcbとは 1/2(_a+_b+_c+(-_b_c/_a)-_b)/(_c-_b)=1/2((R^2/a+R^2/b+R^2/c+(-R^2/b・ R^2/c/R^2a)-R^2/b)/(R^2/c-R^2/b)=1/2((1/a+1/b+1/c-a/bc)-1/b)/(1/c-1/b)=1/2(( a+b+c-bc/a)-b)/(c-b)よって実数となり一直線上にあります。同様にhq’の中点は q、hr’の中点はrです。 Rを計算上1として一般性は保たれるのでこれらを用いると M=(a+b+c)/2,D=(b+c)/2,E=(c+a)/2,F=(a+b)/2,P=(a+b+c-bc_a)/2,Q=(a+b+c-ca_b)/2, R=(a+b+c-ab_c)/2,A1=(a+a+b+c)/2,B1=(b+a+b+c)/2,C1=(c+a+b+c)/2したがってMD=| (b+c)/2-(a+b+c)/2|=|-a/2|=1/2,同様にME=MF=1/2,またMP=| (a+b+c-(bc/a))/2-(a+b+c)/2|=|-bc/2a|=1/2同様にMQ=MR=1/2,MA1,MB1,MC1も1/2 となり半径がひとしいので同じ円周上にあります。 九点円で調べたらまたもう少し別の解き方があると思います。