質問＜４３６＞２００１／３／２８
from=ＮＮＮ
「因数分解」

武田先生お久しぶりです。
下記の問題が解答はあるのですが解説の意味がよくわからなくてこまっ
ております。
質問させてください

＝問題①＝
(A)
{(x+y)^7}-(x^7)-(y^7)を整数係数の範囲で因数分解せよ。 
(B)
{(x+y)^n}-(x^n)-(y^n)が{(x^2)+(xy)+(y^2)}*(x..yの多項式) 
の形に表される様な2以上の自然数nを小さい方から3つ求めよ

＝解答＝
(A)
{(x+y)^7}-(x^7)-(y^7) = 7xy(x+y){(x^2)+(xy)+(y^2)}^2 

(B)
f(5) = 5xy(x+y)(x^2+xy+y^2) 
f(7) = 7xy(x+y)(x^2+xy+y^2)^2 
f(11) = 11xy(x+y)(x^2+xy+y^2)(x^6+3x^5y+7x^4y^2+9x^3y^3+7x^2y^4+3xy^5+y^6)

(Bの解説そのいち)
f_n(x,y)={(x+y)^n}-(x^n)-(y^n) とおく。 
z^2 + z + 1 = 0 の根を w とおく。 

f_n(x,y)が{(x^2)+(xy)+(y^2)}*(x..yの多項式) 
の形に表されたとすると f_n(w,1)=0 である。 
自然数 n に対して 
「{(w+1)^n}-(w^n)-(1^n)=0」⇔「n=6k+1, n=6k-1（kは自然数）」 
であることは複素平面を睨んでればわかる。 
（注：w は１の原始３乗根、w+1 は１の原始６乗根。） 

逆に n=6k+1 または n=6k-1（kは自然数）ならば 
f_n(wy,y)=(y^n)f_n(w,1)=0 
f_n((w^2)y,y)=(y^n)f_n(w^2,1)=0 
だから f_n(x,y) は (x-wy)(x-(w^2)y)=(x^2)+xy+(y^2) を因子に持つ

(Bの解説その2)

((t+1)^n - t^n -1)が(t^2+t+1)で割り切れるようなnを探す。 

(t^2+t+1)=0の解の一つはa=cos(π/3)+isin(π/3) 
f(n,t)=((t+1)^n - t^n -1)とすると 
f(n,a) 
=(cos(π/6)+isin(π/6))^n - (cos(π/3)+isin(π/3))^n - 1 
=(cos(nπ/6)-cos(nπ/3)-1) + i(sin(nπ/6)-sin(nπ/3)) 

cos(nπ/6)-cos(nπ/3)-1=0 } 
sin(nπ/6)-sin(nπ/3)=0　 }　⇒　略　⇒　n=6k±1 

以上二つの解説より
{(x+y)^n}-(x^n)-(y^n)が{(x^2)+(xy)+(y^2)}*(x..yの多項式) 
の形に表される様な2以上の自然数nは 
n=6k+1, n=6k-1 （kは自然数）

(∴)解答のようになる。

お便り２００２／１２／１
from=Tetsuya Kobayashi

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　(x+y)^n-x^n-y^n=(x^2+xy+y^2)g(x,y)

と因数分解できる為の必要条件は

　(x+1)^n-x^n-1=(x^2+x+1)g(x)

と因数分解できることであり、このとき

　(2+1)^n-2^n-1=7g(x)

で、g(x) が x の整式であることから、

　3^n-2^n-1≡0 (mod.7)

が必要条件。すなわち、

　n≡±1 (mod.6)

が必要条件で、

　n=5, 7, 11

のときに確かに分解可能。
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とかやってもいいけど、x^2+x+1 とかあったら
1の原始3乗根思いついてガウス平面に走るのが
スタンダードでしょう。因数定理より、f(x) が
x-α を因数に持つための必要十分条件は、
f(α)=0 となることです。