質問＜４４１＞２００１／４／４
from=リサ
「数列」

たて続けに質問してしまってすみません。
休み明けにテストがあるので、課題のわからないところをなくしたいん
です。
先生の解説はとてもわかりやすいです。
あ、あと、名前変えました。
実果だったんですけど、本名がりさなので・・・やっぱり本名の方がし
っくりきます。
春休みの課題は冬休みより多いです・・・１年のまとめだからでしょうか？

ある等比数列において、はじめの５項の和が３で、その次の１０項の和が
１８であるとき、その次の１５項の和を求めよ。

よろしくお願いします。

お返事２００１／４／５
from=武田

初項から第５項までの等比数列の和は
ａ1 ＋ａ2 ＋ａ3 ＋ａ4 ＋ａ5 

　ａ（１－ｒ5 ）
＝──────＝３より、
　　１－ｒ

ａ（１－ｒ5 ）＝３（１－ｒ）……①

初項から１５項までの和が３＋１８＝２１となるから
ａ（１－ｒ15）＝２１（１－ｒ）……②

３乗の因数分解の公式ａ3 －ｂ3 ＝（ａ－ｂ）（ａ2 ＋ａｂ＋ｂ2 ）を利用して
①×（１＋ｒ5 ＋ｒ10）－②より
　　ａ（１－ｒ15）＝３（１－ｒ）（１＋ｒ5 ＋ｒ10）
－）ａ（１－ｒ15）＝２１（１－ｒ）
　────────────────────────
　　　　　　　　０＝３（１－ｒ）（１＋ｒ5 ＋ｒ10）－２１（１－ｒ）

３（１－ｒ）｛（１＋ｒ5 ＋ｒ10）－７｝＝０より、
ｒ≠１だから、（∵５ａ＝３より、１５ａ＝９≠２１）
ｒ10＋ｒ5 －６＝０
ｒ5 ＝ｔとおくと、
ｔ2 ＋ｔ－６＝０
（ｔ＋３）（ｔ－２）＝０
ｔをもどして、
（ｒ5 ＋３）（ｒ5 －２）＝０
したがって、
ｒ5 ＝－３または、ｒ5 ＝２

ｒは（－３）の５乗根（ｒを５回掛けると、－３となる数）
奇数乗根の時は符号が一致するので、±はいらない。
ｎ乗根は分数乗と表現（n √ａ＝ａ1/n）できるので、

∴ｒ＝（－３）1/5または、ｒ＝２1/5

（ｉ）ｒ＝（－３）1/5の場合

これを①に代入すると、

　　３
ａ＝─（１－（－３）1/5）
　　４

１６項から３０項までの和をｘとすると、

　　ａ（１－ｒ30）
ｘ＝──────－２１
　　　１－ｒ

　　３／４（１－（－３）1/5）（１－７２９）
　＝────────────────────－２１
　　　　　　１－（－３）1/5


　＝－３×１８２－２１＝－５４６－２１＝－５６７……（答）

(ii)ｒ＝２1/5の場合

これを①に代入すると、

ａ＝－３（１－２1/5）

　　ａ（１－ｒ30）
ｘ＝──────－２１
　　　１－ｒ

　　－３（１－２1/5）（１－６４）
　＝───────────────－２１
　　　　　　１－２1/5


　＝－３×（－６３）－２１＝１８９－２１＝１６８……（答）