質問

　f’(x)はどうしてｙ＝ｆ（ｘ）の傾きを表すのですか？
教えて下さい。

お返事９８／５／１７
from=武田

　今ちょうど、高校３年生のクラスで「微分の初歩」を教えています。関数ｙ＝ｆ（ｘ）のグラフの傾きを考えるところから始めています。
１次関数は直角三角形より傾きｍ（高さ／底辺の２辺の比）がすぐに分かりますが、２次関数になるとグラフが曲がっているため、傾きｍが分かりません。（そんなことを考えている時代に、ガラス加工の発達よりレンズが作られ、望遠鏡や顕微鏡ができました。）顕微鏡で２次関数のグラフを覗いて考えると、直線的に見えてきます。近似的に傾きｍ（高さ／底辺）が考えられました。精確には直線ではありませんので、誤差があります。そこで、顕微鏡の精度を上げていくと考えて直線と同一化させていくのです。精度を上げると底辺の長さｈは極限的に小さくなって０になっていきます。これをｈ→０と表現します。こうして求めた傾きｍを２次関数の上の「点の傾きｍ」と言います。一個々を「微分係数」とも「瞬間変化率」とも言います。３次関数以上でも同様です。
　　　ｆ
　ｘ－－→ｙ　　と言うように、ｘ座標を入力するとｙ座標が計算ｆによって求まる関係を関数と言いますので、同様に考えて、上の点のｘ座標と一個々の傾きｍの関係も関数となっています。
　　　ｆ’
　ｘ－－→ｍ　　となります。このｆ’は関数のｆと区別するが、ｆから導かれるので「導関数」と呼びます。そこでこのｍ＝ｆ’（ｘ）を求めることを「微分する」と言うのです。
グラフ以外でも、傾きにあたる分数の分母と分子に量を与えるといろいろな意味付けが出来てきます。

分子を距離、分母を時間とすると、傾きは速度になります。
分子を人口、分母を面積とすると、傾きは混雑度になります。