質問<522>2001/6/22
f(x)は0でないxの整式で、次の関係をみたしているものとする。 (x - 1)f''(x) + (2x - 3)f'(x) - 8f(x) = 0 f(x)の次数を求め、f(2) = 8 のとき、f(x) をもとめよ。 なお、f'(x)はf(x)の第一次導関数(一回微分)、 f''(x)はf(x)の第二次導関数(二回微分)です。
お返事2001/6/23
from=武田
どうも線形2階微分方程式は、私には難しいのか解けない。 質問<181>も未解決のままである。 この質問<522>も未解決問題に移しますので、 どなたかアドバイスを下さい。 kyukusuさんからアドバイスを頂きました。 感謝!!
お便り2001/6/26
from=kyukusu
f(x)の最高次の項をax^nとする f'(x)ではnax^(n-1)で与式の最高次の係数に着目して (2x-3)f'(x)-8f(x)=0より 2na-8a=0 a=0でないからn=4 よってf(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+eとおき,与式に代入して 未定係数法にて解くって言うのはいかがでしょうか?
お返事2001/6/27
from=武田
kyukusuさんに感謝します。やってみたら出来たので、なるほどこうやる のかと感心しています。 a≠0として、f(x)をn次式とします。 f(x)=axn +bxn-1+…… f′(x)=naxn-1+(n-1)bxn-2+…… f″(x)=n(n-1)axn-2+(n-1)(n-2)bxn-3+…… (x-1)f″(x)+(2x-3)f′(x)-8f(x)=0より、 n(n-1)axn-1+……+2naxn +……-8axn +……=0 (2na-8a)xn +……=0 x≠0より、 (2na-8a)=0 a≠0より、 ∴n=4 したがって、f(x)は4次式だから、 f(x)=ax4 +bx3 +cx2 +dx+eとおくと、 f(2)=8より、 16a+8b+4c+2d+e=8……① f′(x)=4ax3 +3bx2 +2cx+d f″(x)=12ax2 +6bx+2c (x-1)f″(x)+(2x-3)f′(x)-8f(x)=0より、 -2bx3 -(12a+3b+4c)x2 -(6b+4c+6d)x-(2c+3d+8e)=0 x≠0より、 -2b=0 ……② 12a+3b+4c=0……③ 6b+4c+6d=0 ……④ 2c+3d+8e=0 ……⑤ ②より、b=0 ③より、c=-3a 2 ④より、d=-─c=2a 3 ⑤より、2c-2c+8e=0 e=0 ①に上の結果を代入して、 16a-12a+4a=8 a=1 したがって、 a=1 b=0 c=-3 d=2 e=0 したがって、 f(x)=x4 -3x2 +2x ……(答)