質問

f(x)は0でないxの整式で、次の関係をみたしているものとする。
(x - 1)f''(x) + (2x - 3)f'(x) - 8f(x) = 0

f(x)の次数を求め、f(2) = 8　のとき、f(x) をもとめよ。
なお、f'(x)はf(x)の第一次導関数（一回微分）、
f''(x)はf(x)の第二次導関数（二回微分）です。

お返事２００１／６／２３
from=武田

どうも線形２階微分方程式は、私には難しいのか解けない。
質問＜１８１＞も未解決のままである。
この質問＜５２２＞も未解決問題に移しますので、
どなたかアドバイスを下さい。
kyukusuさんからアドバイスを頂きました。
感謝！！

お便り２００１／６／２６
from=kyukusu

f(x)の最高次の項をax^nとする
f'(x)ではnax^(n-1)で与式の最高次の係数に着目して
(2x-3)f'(x)-8f(x)=0より
2na-8a=0
a=0でないからn=4
よってf(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+eとおき，与式に代入して
未定係数法にて解くって言うのはいかがでしょうか？

お返事２００１／６／２７
from=武田

kyukusuさんに感謝します。やってみたら出来たので、なるほどこうやる
のかと感心しています。

ａ≠０として、ｆ（ｘ）をｎ次式とします。
ｆ（ｘ）＝ａｘⁿ＋ｂｘ^n-1＋……
ｆ′（ｘ）＝ｎａｘ^n-1＋（ｎ－１）ｂｘ^n-2＋……
ｆ″（ｘ）＝ｎ（ｎ－１）ａｘ^n-2＋（ｎ－１）（ｎ－２）ｂｘ^n-3＋……
（ｘ－１）ｆ″（ｘ）＋（２ｘ－３）ｆ′（ｘ）－８ｆ（ｘ）＝０より、
ｎ（ｎ－１）ａｘ^n-1＋……＋２ｎａｘⁿ＋……－８ａｘⁿ＋……＝０
（２ｎａ－８ａ）ｘⁿ＋……＝０
ｘ≠０より、
（２ｎａ－８ａ）＝０
ａ≠０より、
∴ｎ＝４

したがって、ｆ（ｘ）は４次式だから、
ｆ（ｘ）＝ａｘ⁴＋ｂｘ³＋ｃｘ²＋ｄｘ＋ｅとおくと、
ｆ（２）＝８より、
１６ａ＋８ｂ＋４ｃ＋２ｄ＋ｅ＝８……①
ｆ′（ｘ）＝４ａｘ³＋３ｂｘ²＋２ｃｘ＋ｄ
ｆ″（ｘ）＝１２ａｘ²＋６ｂｘ＋２ｃ
（ｘ－１）ｆ″（ｘ）＋（２ｘ－３）ｆ′（ｘ）－８ｆ（ｘ）＝０より、
－２ｂｘ³－（１２ａ＋３ｂ＋４ｃ）ｘ²－（６ｂ＋４ｃ＋６ｄ）ｘ－（２ｃ＋３ｄ＋８ｅ）＝０
ｘ≠０より、
－２ｂ＝０　　　　　　……②
１２ａ＋３ｂ＋４ｃ＝０……③
６ｂ＋４ｃ＋６ｄ＝０　……④
２ｃ＋３ｄ＋８ｅ＝０　……⑤

②より、ｂ＝０
③より、ｃ＝－３ａ
　　　　　　　２
④より、ｄ＝－─ｃ＝２ａ
　　　　　　　３
⑤より、２ｃ－２ｃ＋８ｅ＝０
　　　　ｅ＝０
①に上の結果を代入して、
１６ａ－１２ａ＋４ａ＝８
　　　　ａ＝１
したがって、
　　　　ａ＝１
　　　　ｂ＝０
　　　　ｃ＝－３
　　　　ｄ＝２
　　　　ｅ＝０

したがって、
ｆ（ｘ）＝ｘ⁴－３ｘ²＋２ｘ　……（答）