質問

問題集をやってて次の２問が解けなくて困ってます。
①整式f(x)は恒等的に
　f(x^2)=x^3f(x+1)-2x^4+2x^2
を満たすとき、f(x)を求めよ。
②方程式ａχ2+bχ+c=0の解をαとする。a>b>c>0ならば|α|＜1である
ことを証明しなさい。

お返事２００１／８／９
from=武田

未解決問題に移しました。すぐにＴ．Ｋさんとｄ３さんからアドバイスが
届きました。感謝感激です！！私がこのホームページを続けられるのも、
こういう人たちが応援してくれるからです。ありがとうございます。

お便り２００１／８／１１
from=Ｔ．Ｋ

x^3f(x+1)ってx^3・f(x+1)の事ですよね？ 

fをk次多項式とする。 
左辺の次数＝2k 
右辺の次数＝max{3+k,4} 
よって 
2k=4且つ3+k≦4 
or 
2k=3+k且つ4≦3+k 
よって、k=3となり、f(x)は3次式。 
後は 
f(x)=px^3+qx^2+rx+s 
と置いて、元の式に代入すればよい 
 
※αが実数ですと(2)はなんとかなりそうですが、、

お便り２００１／８／１１
from=ｄ３

①
f(x^2)=x^3f(x+1)－2x^4+2x^2　・・・（＃）
ここで，明らかにf(x)は定数ではないです．
（定数とすると，＃の右辺は４次ですが左辺は定数なので）
nを自然数として，f(x)をn次とします：
f(x)＝ax^n+・・・．a≠0とします．
（＃）では，
左辺＝ax^2n+・・・，から2n次，
右辺＝x^3(ax^n+・・・)－2x^4+2x^2＝ax^(n+3)+・・・－2x^4＋
n+3≧4なので，右辺はn+3次以下になります．
（以下を付けたのは，n＝1，a＝2のとき，４次の項が消えるからです）
2n≦n+3　(i.e.)　n≦3．
f(x)＝ax^3+bx^2+cx+d　とおくと，
このまま＃に代入して，連立方程式でもいいのですが，・・・．
（計算がきついので，ちょっと考えます．）
（＃）の式の右辺をみると，x^2で割り切れます．
そして，x^3で割ると，2x^2余ります．
左辺＝ax^6+bx^4+cx^2+d
なので，c＝2，d＝0がわかります：　
f(x)＝ax^3+bx^2+2x，
ax^6+bx^4+2x^2=x^3{a(x+1)^3+b(x+1)^2+2(x+1)}－2x^4+2x^2
ax^3+bx+2x={a(x+1)^3+b(x+1)^2+2(x+1)}
ax^3+bx+2x=ax^3+(3a+b)x^2+(3a+2b+2)x+(a+b+2)
係数を比較して，a＝1，b＝－3となります．
f(x)＝x^3－3x^2+2x　となります．
このとき，確かに条件を満たします．

②
a>b>c>0・・・＃．
f(x)：＝ax^2+bx+c　とします．
ここで，
f(－1)＝a－b+c，f(0)＝c，f(1)＝a+b+c
なので，＃から，
0＜f(0)＜f(－1)＜f(1)
です．この放物線のグラフは，下に凸ですので，
ｘ軸と共有点をもつなら，
－1＜x＜0かまたは0＜x＜1で共有点をもちます．
|α|＜1
がいえます．
（実際は，解と係数の関係または，頂点のｘ座標から負になります）
数Ⅰなら（αが実数なので判別式≧0で，）コレで終わりですが，
数Ｂなら，虚数の場合を考える必要があります．
このとき判別式＜0で，共役な複素数を解にもつので，
解と係数の関係から，
|α|^2＝c/a
で，＃から，0＜c/a＜1なので，
|α|＜1
がいえます．