質問<598>2001/8/11
[1]等差数列{an}を2,5,8,11,14,・・・,等差数列{bn}を3,7,11,15,19,・・・, とする。{an}と{bn}に共通に現れる数を小さい順に並べてできる数列の 第n項は□である。 また、{an}の初め第1000項までのうちで、{bn}と共通なものの和は□となる。 [2]数列の初めのn項の和SnがSn=1/6n(4n^2-6n-1)で表されるとき、 (1)一般項anをnを用いて表せ n (2)∑1/aiを求めよ [3](1)数列{an}をa1=3、an+1=2an+1(n=1,2,3,・・・)で求める、 このとき一般項anをもとめよ (2)a1=2、an+1-an=n+3(n=1,2,3,・・・)で定義される数列{an}の 一般項anと、初項から第n項までの和を求めよ [4](X^2+2/X+1)^6を展開したとき、Xを含まない項を求めよ [5]実数αを0<α<1とする。三角形ABCにおいて、線分AB、BC、CAを α:(1-α)に内分する点をそれぞれA1、B1、C1とする。 更に、線分A1B1、B1C1、C1A1をα:(1-α)に内分する点をそれぞれ A2、B2、C2とする。同様にして、Ak、Bk、Ck(k=3,4,5,・・・)定める。 また、正の整数kに対して、三角形Ak、Bk、Ckの面積をSkで表す。 三角形ABCの面積をSoとするとき、Skをk、α、Soで表せ。また、αが 動く時のSkの最小値Tkを求めよ お願いします。いつも質問が多くて、すいません。
お返事2001/8/16
from=武田
問1 等差数列an =2+(n-1)3=3n-1 等差数列bn =3+(n-1)4=4n-1 共通な等差数列cn =11+(n-1)12=12n-1 an が1000項あるので、最後の数は a1000=3・1000-1=2999 4n-1=2999とおくと、n=750より、 2999は共通な数 12n-1=2999より、n=250 共通な数列の初項11から第250番目2999までの和は 250(11+2999) S=――――――――――――=376250………(答) 2 問2 1 Sn =―n(4n2 -6n-1)より、 6 (1) an =Sn -Sn-1 1 =―{(4n3 -6n2 -n)-(4n3 -18n2 +23n-9)} 6 1 =―(12n2 -24n+9) 6 1 =―(4n2 -8n+3) 2 1 =―(2n-1)(2n-3) 2 (2) n 1 n 2 Σ――=Σ―――――――――――― ai (2i-1)(2i-3) n 1 1 =Σ{――――-――――} 2i-3 2i-1 1 1 1 1 1 1 =(――-―)+(―-―)+………+(――-――) -1 1 1 3 2n-3 2n-1 1 -2n+1-1 2n =-1-――――=――――――――=――――………(答) 2n-1 2n-1 1-2n 問3 (1) 漸化式an+1=2an +1のan の係数が1以外の時は、指数関数系だから an+1+k=2(an +k)とおいて、kを求めると、 an+1=2an +2k-k ∴k=1 an+1+1=2(an +1)と変形できる。 an+1+1=2(an +1) =2・2(an-1+1) =……… =2n (a1 +1) =2n (3+1)(∵a1 =3より) =2n+2 したがって、 an +1=2n+1 ∴an =2n+1-1………(答) (2) 漸化式an+1-an =n+3を変形して、 an+1=an +n+3のan の係数が1の時は、整関数系だから an+1=an +n+3 ={an-1+(n-1)+3}+n+3 =……… ={a1 +(1)+3}+{2+………+(n-1)+n}+3(n-1) =2+(1+………+n)+3n(∵a1 =2より) n(1+n) 4+n+n2 +6n =2+――――――+3n=――――――――― 2 2 n2 +7n+4 =――――――― 2 したがって、 (n-1)2 +7(n-1)+4 an =――――――――――――――― 2 n2 +5n-2 =―――――――………(答) 2 問4 2 (x2 +―+1)6 の展開したときの係数は、 x 二項定理の発展編の多項定理より、 n! (x+y+z)n =Σ――――――――xaybzc a!b!c! ただし、a+b+c=n xを含まない項だから、 (x2 )a(2/x)b(1)cより、 2a+(-b)=0となるa,bを探して、ただし、a+b+c=6 a b c 0 0 6 1 2 3 2 4 0 したがって、 6! 6! 2 6! 2 ――――(1)6 +――――(x2 )(―)2 (1)3 +――――(x2 )2 (―)4 0!0!6! 1!2!3! x 2!4!0! x 4 16 =1+60x2 ・――+15x4 ・―― x2 x4 =1+240+240=481………(答) 問5 未解決問題に移しました。kyukusuさんから下にアドバイスをいただきました。
お便り2001/8/20
from=バナナ
(1) 等差数列an =2+(n-1)3=3n-1 等差数列bn =3+(n-1)4=4n-1 共通な等差数列cn =11+(n-1)12=12n-1 どのようにして共通な等差数列cn =11+(n-1)12=12n-1 をだしたんですか? (2) n 1 n 2 Σ――=Σ―――――――――――― ai (2i-1)(2i-3) n 1 1 =Σ{――――-――――} どうしてこのようになるんですか? 2i-3 2i-1 1 1 1 1 1 1 =(――-―)+(―-―)+………+(――-――) -1 1 1 3 2n-3 2n-1 ※この2n-3はどうやったら消えるんですか? 1 -2n+1-1 2n =-1-――――=――――――――=――――………(答) 2n-1 2n-1 1-2n
お返事2001/8/21
from=武田
(1) 等差数列an :2,5,8,11,14,17,20,23,26,……… 2+(n-1)3=3n-1等差数列bn :3,7,11,15,19,23,27,……… 3+(n-1)4=4n-1 共通な等差数列cn :11,23,……… 11+(n-1)12=12n-1 ※具体的に書いて行って見つけました。 (2) 部分分数分解という方法を使います。 分数式の分母が因数分解の形になっていて、複数の分数式に分けるときに 使います。慣れてくると、勘で分かるようになります。 1 a b ――――――――――=―――-――― (x-1)(x+1) x-1 x+1 ax+a-bx+b =―――――――――― (x-1)(x+1) (a-b)x+(a+b) =―――――――――――― (x-1)(x+1) 左辺の分子と見比べて、係数比較をすると、 {a-b=0 {a+b=1 したがって、 1 1 a=―、b=― 2 2 1 1 ― ― 1 2 2 ――――――――――=―――-――― (x-1)(x+1) x-1 x+1 とすることができる。 引き算だと随時消していくことができる。 例えば、 (1-2)+(2-3)+(3-4)+……… ………+{(n-2)-(n-1)}+{(n-1)-n} =1-n となる。 つまり途中の計算はプラスマイナスで消えてしまうわけだ。
お便り2001/8/29
from=kyukusu
問3(2) bn=an+1-an=n+3 としてn≧2で階差数列でan=a1+Σbk(k=1~n-1)でやった方が簡単では? 問5 長くなりますので簡潔に。 △AkBkCkと△Ak+1Bk+1Ck+1についてそれぞれ面積をSk,Sk+1とする。 Sk+1=Sk-(△AkAk+1Ck+1+△BkBk+1Ak+1+△CkCk+1Bk+1) =Sk-3α(1-α)Sk=Sk((1-3α(1-α)) Sk=S1*(1-3α(1-α))^n-1=((1-3α(1-α))^n*S0 =(3(α-1/2)^2+1/4)^n*S0 よってTk=Skmin=(1/4)^n*S0 っていうのでどうでしょう。 図があれば少しはわかりやすいんですが・・・