質問＜５９８＞２００１／８／１１
［１］等差数列{ａｎ}を2,5,8,11,14,･･･,等差数列{ｂｎ}を3,7,11,15,19,･･･,
とする。{ａｎ}と{ｂｎ}に共通に現れる数を小さい順に並べてできる数列の
第n項は□である。
また、{ａｎ}の初め第1000項までのうちで、{ｂｎ}と共通なものの和は□となる。
[２]数列の初めのn項の和SnがSn=1/6ｎ（4ｎ^2－6n-1）で表されるとき、
(1)一般項ａｎをnを用いて表せ
n
(2)∑1/aiを求めよ
[3](1)数列{ａｎ}をａ1＝３、ａn+1＝２ａｎ＋1（n=1,2,3,･･･)で求める、
このとき一般項anをもとめよ
(2)ａ1=２、an+1－ａn=ｎ+3（n=1,2,3,･･･)で定義される数列{ａｎ}の
一般項ａｎと、初項から第n項までの和を求めよ
[4]（X^2＋2/X＋1）^6を展開したとき、Xを含まない項を求めよ
[5]実数αを0＜α＜１とする。三角形ABCにおいて、線分AB、BC、CAを
α：（１－α）に内分する点をそれぞれA1、B1、C1とする。
更に、線分A1B1、B1C1、C1A1をα：（１－α）に内分する点をそれぞれ
A2、B2、C2とする。同様にして、Ak、Bk、Ck（k=3,4,5,･･･)定める。
また、正の整数kに対して、三角形Ak、Bk、Ckの面積をSkで表す。
三角形ABCの面積をSoとするとき、Skをk、α、Soで表せ。また、αが
動く時のSkの最小値Tkを求めよ
お願いします。いつも質問が多くて、すいません。
お返事２００１／８／１６
from=武田
問１ 等差数列ａn ＝２＋（ｎ－１）３＝３ｎ－１ 等差数列ｂn ＝３＋（ｎ－１）４＝４ｎ－１ 共通な等差数列ｃn ＝１１＋（ｎ－１）１２＝１２ｎ－１ ａn が１０００項あるので、最後の数は ａ1000＝３・１０００－１＝２９９９ ４ｎ－１＝２９９９とおくと、ｎ＝７５０より、 ２９９９は共通な数 １２ｎ－１＝２９９９より、ｎ＝２５０ 共通な数列の初項１１から第２５０番目２９９９までの和は ２５０（１１＋２９９９） Ｓ＝――――――――――――＝３７６２５０………（答） ２ 問２ １ Ｓn ＝―ｎ（４ｎ2 －６ｎ－１）より、 ６ （１） ａn ＝Ｓn －Ｓn-1 １ ＝―｛（４ｎ3 －６ｎ2 －ｎ）－（４ｎ3 －１８ｎ2 ＋２３ｎ－９）｝ ６ １ ＝―（１２ｎ2 －２４ｎ＋９） ６ １ ＝―（４ｎ2 －８ｎ＋３） ２ １ ＝―（２ｎ－１）（２ｎ－３） ２ （２） ｎ １ ｎ ２ Σ――＝Σ―――――――――――― ａi （２ｉ－１）（２ｉ－３） ｎ １ １ ＝Σ｛――――－――――｝ ２ｉ－３ ２ｉ－１ １ １ １ １ １ １ ＝（――－―）＋（―－―）＋………＋（――－――） －１ １ １ ３ 2n-3 2n-1 １ －２ｎ＋１－１ ２ｎ ＝－１－――――＝――――――――＝――――………（答） ２ｎ－１ ２ｎ－１ １－２ｎ 問３ （１） 漸化式ａn+1＝２ａn ＋１のａn の係数が１以外の時は、指数関数系だから ａn+1＋ｋ＝２（ａn ＋ｋ）とおいて、ｋを求めると、 ａn+1＝２ａn ＋２ｋ－ｋ ∴ｋ＝１ ａn+1＋１＝２（ａn ＋１）と変形できる。 ａn+1＋１＝２（ａn ＋１） ＝２・２（ａn-1＋１） ＝……… ＝２n （ａ1 ＋１） ＝２n （３＋１）（∵ａ1 ＝３より） ＝２n+2 したがって、 ａn ＋１＝２n+1 ∴ａn ＝２n+1－１………（答） （２） 漸化式ａn+1－ａn ＝ｎ＋３を変形して、 ａn+1＝ａn ＋ｎ＋３のａn の係数が１の時は、整関数系だから ａn+1＝ａn ＋ｎ＋３ ＝｛ａn-1＋（ｎ－１）＋３｝＋ｎ＋３ ＝……… ＝｛ａ1 ＋（１）＋３｝＋｛２＋………＋（ｎ－１）＋ｎ｝＋３（ｎ－１） ＝２＋（１＋………＋ｎ）＋３ｎ（∵ａ1 ＝２より） ｎ（１＋ｎ） ４＋ｎ＋ｎ2 ＋６ｎ ＝２＋――――――＋３ｎ＝――――――――― ２ ２ ｎ2 ＋７ｎ＋４ ＝――――――― ２ したがって、 （ｎ－１）2 ＋７（ｎ－１）＋４ ａn ＝――――――――――――――― ２ ｎ2 ＋５ｎ－２ ＝―――――――………（答） ２ 問４ ２ （ｘ2 ＋―＋１）6 の展開したときの係数は、 ｘ 二項定理の発展編の多項定理より、 ｎ！ （ｘ＋ｙ＋ｚ）n ＝Σ――――――――ｘaｙbｚc ａ！ｂ！ｃ！ ただし、ａ＋ｂ＋ｃ＝ｎ ｘを含まない項だから、 （ｘ2 ）a（２／ｘ）b（１）cより、 ２ａ＋（－ｂ）＝０となるａ，ｂを探して、ただし、ａ＋ｂ＋ｃ＝６ ａ ｂ ｃ ０ ０ ６ １ ２ ３ ２ ４ ０ したがって、 ６！ ６！ ２ ６！ ２ ――――(1)6 ＋――――(x2 )(―)2 (1)3 ＋――――(x2 )2 (―)4 0！0！6！ 1！2！3！ ｘ 2！4！0！ ｘ ４ １６ ＝１＋６０ｘ2 ・――＋１５ｘ4 ・―― ｘ2 ｘ4 ＝１＋２４０＋２４０＝４８１………（答） 問５ 未解決問題に移しました。kyukusuさんから下にアドバイスをいただきました。
お便り２００１／８／２０
from=バナナ
（１） 等差数列ａn ＝２＋（ｎ－１）３＝３ｎ－１ 等差数列ｂn ＝３＋（ｎ－１）４＝４ｎ－１ 共通な等差数列ｃn ＝１１＋（ｎ－１）１２＝１２ｎ－１ どのようにして共通な等差数列ｃn ＝１１＋（ｎ－１）１２＝１２ｎ－１ をだしたんですか？ （２） ｎ １ ｎ ２ Σ――＝Σ―――――――――――― ａi （２ｉ－１）（２ｉ－３） ｎ １ １ ＝Σ｛――――－――――｝ どうしてこのようになるんですか？ ２ｉ－３ ２ｉ－１ １ １ １ １ １ １ ＝（――－―）＋（―－―）＋………＋（――－――） －１ １ １ ３ 2n-3 2n-1 ※この2n-3はどうやったら消えるんですか？ １ －２ｎ＋１－１ ２ｎ ＝－１－――――＝――――――――＝――――………（答） ２ｎ－１ ２ｎ－１ １－２ｎ
お返事２００１／８／２１
from=武田
（１） 等差数列ａn ：２，５，８，１１，１４，１７，２０，２３，２６，……… ２＋（ｎ－１）３＝３ｎ－１等差数列ｂn ：３，７，１１，１５，１９，２３，２７，……… ３＋（ｎ－１）４＝４ｎ－１ 共通な等差数列ｃn ：１１，２３，……… １１＋（ｎ－１）１２＝１２ｎ－１ ※具体的に書いて行って見つけました。 （２） 部分分数分解という方法を使います。 分数式の分母が因数分解の形になっていて、複数の分数式に分けるときに 使います。慣れてくると、勘で分かるようになります。 １ ａ ｂ ――――――――――＝―――－――― （ｘ－１）（ｘ＋１） ｘ－１ ｘ＋１ ａｘ＋ａ－ｂｘ＋ｂ ＝―――――――――― （ｘ－１）（ｘ＋１） （ａ－ｂ）ｘ＋（ａ＋ｂ） ＝―――――――――――― （ｘ－１）（ｘ＋１） 左辺の分子と見比べて、係数比較をすると、 ｛ａ－ｂ＝０ ｛ａ＋ｂ＝１ したがって、 １ １ ａ＝―、ｂ＝― ２ ２ １ １ ― ― １ ２ ２ ――――――――――＝―――－――― （ｘ－１）（ｘ＋１） ｘ－１ ｘ＋１ とすることができる。 引き算だと随時消していくことができる。 例えば、 （１－２）＋（２－３）＋（３－４）＋……… ………＋｛（ｎ－２）－（ｎ－１）｝＋｛（ｎ－１）－ｎ｝ ＝１－ｎ となる。 つまり途中の計算はプラスマイナスで消えてしまうわけだ。
お便り２００１／８／２９
from=kyukusu
問３（２）
bn=an+1-an=n+3
としてn≧2で階差数列でan=a1+Σbk(k=1～n-1)でやった方が簡単では？
問５
長くなりますので簡潔に。
△AkBkCkと△Ak+1Bk+1Ck+1についてそれぞれ面積をSk,Sk+1とする。
Sk+1=Sk-(△AkAk+1Ck+1+△BkBk+1Ak+1+△CkCk+1Bk+1)
=Sk-3α(1-α)Sk=Sk((1-3α(1-α))
Sk=S1*(1-3α(1-α))^n-1=((1-3α(1-α))^n*S0
=(3(α-1/2)^2+1/4)^n*S0
よってTk=Skmin=(1/4)^n*S0
っていうのでどうでしょう。
図があれば少しはわかりやすいんですが・・・