質問＜６２１＞２００１／８／２７
from=3年10組12番
「微積分」

ｅを自然対数の底とし、
　　　　　　ｅ（ｌｏｇｘ）^ｎ　　
　　ａｎ＝∫　　───　　　ｄｘ(ｎ＝1，2，3・･）　
　　　　　　1　　ｘ^2　　　
とする。ただし、ｌｏｇｘは自然対数である。

(1)ａ1の値を求めよ。

(2）ａｎ+１とａｎの関係式を求めよ。

(3）各ｎについて、０＜ａｎ+1＜ａｎであることを示せ。

　　　　ｎ　１
(4)Ｓｎ=∑──（ｎ=1，2，3･･･）とする。
　
　　　ｋ=１ｋ！　
　　　　　　　　　　　　　　　１　ａn　　ｎ≧２のとき．Ｓn=ｅ（１－─－─　）で
　　　　　　　　　　　　　　　ｅ　ｎ！

　　あることを示し、ｌｉｍＳnを求めよ。
　　　　　　　　　　ｎ→∞

お返事２００１／８／３１
from=武田

（１）
　　　ｅ　（logｘ）1 
ａ1 ＝∫　――――――ｄｘ
　　　１　　ｘ2 

　　　　　１　　　　ｅ　　ｅ　　　１　　　１
　　＝［－―・logｘ］　－∫　（－――）・――ｄｘ
　　　　　ｘ　　　　１　　１　　　ｘ　　　ｘ

　　　　１　　　１　ｅ
　　＝－―＋［－―　］
　　　　ｅ　　　ｘ　１

　　　　　２
　　＝１－―　………（答）
　　　　　ｅ

（２）
　　　　　ｅ　（logｘ）n+1
ａn+1 ＝∫　　――――――ｄｘ
　　　　　１　　ｘ2 

　　　　　　１　　　　　　　　ｅ　　ｅ　　　１　　　　　　　　　　１
　　　＝［－―・（logｘ）n+1 ］　－∫　（－――）(n+1)(logｘ)n ・――ｄｘ
　　　　　　ｘ　　　　　　　　１　　１　　　ｘ　　　　　　　　　　ｘ

　　　　　１
　　　＝－―＋（ｎ＋１）・ａn ………（答）
　　　　　ｅ

（３）（４）
※未解決問題に移したところ、星野さんからアドバイスをいただきました。
感謝！！

お便り２００１／９／４
from=星野敏司

(3) x = e^t と置くと
a_n = ∫_0^1 t^n e^(-t)dt.

0 ＜ t ≦ 1 で t^n e^(-t) ＞ 0 より a_n ＞ 0.
0 ＜ t ＜ 1 で t^(n+1) ＜ t^n より a_(n+1) ＜ a_n.


(4) [数学的帰納法]
n = 2:
e(1 - 1/e - a_2/2)
= e - 1 - (e/2)a_2
= e - 1 - (e/2)(-1/e + 2a_1)
= e - 1 + 1/2 - ea_1
= e - 1 + 1/2 - e(1 - 2/e)
= e - 1 + 1/2 - e + 2
= 1 + 1/2 = S_2.

e(1 - 1/e - a_(n+1)/(n+1)!)
=e(1 - 1/e - (-1/e + (n+1)a_n)/(n+1)!)
=e(1 - 1/e + 1/(e(n+1)!) - a_n/n!)
=e(1 - 1/e - a_n/n!) + 1/(n+1)!
=S_n + 1/(n+1)!
=S_(n+1).

さて, (3) で最初に書いた定積分に Cauchy-Schwarz の不等式を適用して

a_n = ∫_0^1 t^n e^(-t)dt
≦ √(∫_0^1 t^(2n)dt ∫_0^1 e^(-2t)dt)
= √(((1-e^(-2))/(2(2n+1)))→0 as n → ∞.
従って

S_n = e(1 - 1/e - a_n/n!)→ e(1-1/e) = e - 1
as n→∞.