質問<621>2001/8/27
eを自然対数の底とし、 e(logx)^n an=∫ ─── dx(n=1,2,3・・) 1 x^2 とする。ただし、logxは自然対数である。 (1)a1の値を求めよ。 (2)an+1とanの関係式を求めよ。 (3)各nについて、0<an+1<anであることを示せ。 n 1 (4)Sn=∑──(n=1,2,3・・・)とする。 k=1k! 1 an n≧2のとき.Sn=e(1-─-─ )で e n! あることを示し、limSnを求めよ。 n→∞
お返事2001/8/31
from=武田
(1) e (logx)1 a1 =∫ ――――――dx 1 x2 1 e e 1 1 =[-―・logx] -∫ (-――)・――dx x 1 1 x x 1 1 e =-―+[-― ] e x 1 2 =1-― ………(答) e (2) e (logx)n+1 an+1 =∫ ――――――dx 1 x2 1 e e 1 1 =[-―・(logx)n+1 ] -∫ (-――)(n+1)(logx)n ・――dx x 1 1 x x 1 =-―+(n+1)・an ………(答) e (3)(4) ※未解決問題に移したところ、星野さんからアドバイスをいただきました。 感謝!!
お便り2001/9/4
from=星野敏司
(3) x = e^t と置くと a_n = ∫_0^1 t^n e^(-t)dt. 0 < t ≦ 1 で t^n e^(-t) > 0 より a_n > 0. 0 < t < 1 で t^(n+1) < t^n より a_(n+1) < a_n. (4) [数学的帰納法] n = 2: e(1 - 1/e - a_2/2) = e - 1 - (e/2)a_2 = e - 1 - (e/2)(-1/e + 2a_1) = e - 1 + 1/2 - ea_1 = e - 1 + 1/2 - e(1 - 2/e) = e - 1 + 1/2 - e + 2 = 1 + 1/2 = S_2. e(1 - 1/e - a_(n+1)/(n+1)!) =e(1 - 1/e - (-1/e + (n+1)a_n)/(n+1)!) =e(1 - 1/e + 1/(e(n+1)!) - a_n/n!) =e(1 - 1/e - a_n/n!) + 1/(n+1)! =S_n + 1/(n+1)! =S_(n+1). さて, (3) で最初に書いた定積分に Cauchy-Schwarz の不等式を適用して a_n = ∫_0^1 t^n e^(-t)dt ≦ √(∫_0^1 t^(2n)dt ∫_0^1 e^(-2t)dt) = √(((1-e^(-2))/(2(2n+1)))→0 as n → ∞. 従って S_n = e(1 - 1/e - a_n/n!)→ e(1-1/e) = e - 1 as n→∞.