質問

問１
次の命題の対偶をいえ
(1)a＋b＜c＋dならばa＜cまたはb＜d
(2)任意の自然数ｎについて，｜a｜＜ｎならばa＝0

問２
　xy平面において，ｘ座標，ｙ座標がともに整数である。(ｘ，y）を格子点
という。いま，互いに異なる5個の格子点を任意に選ぶと，その中に次の性質
を満たす格子点が少なくとも一対は存在することを示せ。
「一対の格子点を結ぶ線分の中点がまた格子点となる。」

こんにちは。問題の意味が良く理解できないので、それも含めて教えてください。

お返事２００１／９／２
from=武田

命題「ｐ―→ｑ」は、仮定ｐが真のとき、
結論ｑが真となるとき、この命題は真と言い、
結論ｑが偽となるとき、この命題は偽と言う。

仮定ｐが偽のときは、結論ｑが真でも偽でも、命題そのものは
真となるが、数学ではあまり扱わない。

「ｐ―→ｑ」………「ｑ―→ｐ」
　　…　　　　　　　　逆
　　…　　　　　　　　…
　　…　　　　　　　　…
　＿　　＿　　　　　＿　　＿
「ｐ―→ｑ」………「ｑ―→ｐ」
　　裏　　　　　　　　対偶

命題が真のときは、対偶も真となる。（集合の包含関係で証明される。）

問１
（１）
「ａ＋ｂ＜ｃ＋ｄならば、ａ＜ｃまたはｂ＜ｄ」の対偶は、
「ａ≧ｃかつｂ≧ｄならば、ａ＋ｂ≧ｃ＋ｄ」

（２）
「任意（すべて∀）の自然数ｎについて、｜ａ｜＜ｎならば、ａ＝０」の対偶は、
「ａ≠０ならば、ある（∃）自然数ｎについて、｜ａ｜≧ｎ」

問２
「任意の５個の格子点をとると、少なくとも一対の格子点の中点は格子点となる。」
を証明するのに、その対偶の証明で代えることができるから、
「全くどの一対の格子点をとっても中点が格子点にならないのは、ある４個以下の
格子点のときである。」

「任意の５個の格子点」は、５個以上の場合もその中に５個の場合を含むので、
その否定は、「ある配置の４個以下」と言うことになる。

隣り合う正方形の格子点４個のとき、中点が格子点にならないし、
４個の場合でも、この形以外はダメなので、ある（∃）特定の配置の４個
のときのみと言える。３個、２個は、この一部と考えればよい。
対偶が証明された。