質問<627>2001/9/1
問1 次の命題の対偶をいえ (1)a+b<c+dならばa<cまたはb<d (2)任意の自然数nについて,|a|<nならばa=0 問2 xy平面において,x座標,y座標がともに整数である。(x,y)を格子点 という。いま,互いに異なる5個の格子点を任意に選ぶと,その中に次の性質 を満たす格子点が少なくとも一対は存在することを示せ。 「一対の格子点を結ぶ線分の中点がまた格子点となる。」 こんにちは。問題の意味が良く理解できないので、それも含めて教えてください。
お返事2001/9/2
from=武田
命題「p―→q」は、仮定pが真のとき、 結論qが真となるとき、この命題は真と言い、 結論qが偽となるとき、この命題は偽と言う。 仮定pが偽のときは、結論qが真でも偽でも、命題そのものは 真となるが、数学ではあまり扱わない。 「p―→q」………「q―→p」 … 逆 … … … … _ _ _ _ 「p―→q」………「q―→p」 裏 対偶 命題が真のときは、対偶も真となる。(集合の包含関係で証明される。) 問1 (1) 「a+b<c+dならば、a<cまたはb<d」の対偶は、 「a≧cかつb≧dならば、a+b≧c+d」 (2) 「任意(すべて∀)の自然数nについて、|a|<nならば、a=0」の対偶は、 「a≠0ならば、ある(∃)自然数nについて、|a|≧n」 問2 「任意の5個の格子点をとると、少なくとも一対の格子点の中点は格子点となる。」 を証明するのに、その対偶の証明で代えることができるから、 「全くどの一対の格子点をとっても中点が格子点にならないのは、ある4個以下の 格子点のときである。」 「任意の5個の格子点」は、5個以上の場合もその中に5個の場合を含むので、 その否定は、「ある配置の4個以下」と言うことになる。 隣り合う正方形の格子点4個のとき、中点が格子点にならないし、 4個の場合でも、この形以外はダメなので、ある(∃)特定の配置の4個 のときのみと言える。3個、2個は、この一部と考えればよい。 対偶が証明された。