質問

質問＜６３７＞２００１／９／１６
from=るーき
「定積分と不等式、パラメータ」

二題ほどお願いします

①実数t(0≦t≦π/2)を媒介変数として
x=a・(sint)^4
y=2・(cost)^4
で表される曲線をCとする。ただしaは定数である。
Cはx＋y=1に接しているものとする。
(1)aの値を求めよ
(2)Cとx＋y=1およびx軸で囲まれた部分の面積を求めよ
 
②
(1){1/(1＋x)}＜{log(1＋x)-logx}＜1/xを示せ
(2){x＋(1/(1＋e^x))}＜log(1＋e^x)＜x＋(1/e^x)を示せ
(3)lim(a→∞){1/(a^2)}・∫(0→a){log(1＋e^x)}dxを示せ

お便り２００１／９／２７
from=ｄ３

①
t＝αのときの接線が直線x＋y＝1と考えます．
a(sinα)^4＋2(cosα)^4＝1
dy/dx＝(dy/dt)/(dx/dt)＝－2(cost)^2/{a(sint)^2}
t＝αのとき，－1なので，
2(cosα)^2＝a(sinα)^2
この２式から，aを消去して，(cosα)^2＝1/2．
さらに，(sinα)^2＝1/2．よって，a＝2となります．
ここで，tを消去して，√x＋√ｙ＝√2
すなわち，ｙ＝(√2－√x)^2．これはx＋y＝1より上方にあります．
接点は，（1/2，1/2）です．
　∫from0to1/2，［(√2－√ｙ)^2－(1－ｙ)］dy
＝［y－4√(2y)y/3＋y^2］from0to1/2
＝1/12
となります．

②
(logx)’＝1/xから，平均値の定理から，
x＜c＜x＋1で，
{log(1＋x)－logx}/{(1＋x)－x}＝1/cから，
上は成り立つ．
上の式で，xのところにe^xを代入して，
{1/(1＋e^x)}＜{log(1＋e^x)－loge^x}＜1/e^x
{x＋1/(1＋e^x)}＜log(1＋e^x)＜x＋1/e^x　
証明された．
この式を(0→a)で積分して，
{1/(a^2)}∫(0→a){x＋1/(1＋e^x)}dx
＞{1/(a^2)}∫(0→a)xdx＝1/2，　
{1/(a^2)}∫(0→a){x＋1/e^x}dx
＜{1/(a^2)}∫(0→a)(x＋1)dx＝1/2＋1/a→1/2
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(a→∞)
よって，∫(0→a)log(1＋e^x)dx→1/2　(a→∞)

お便り２００１／９／２８
from=Hoshino

①(1)
x + y = a sin^4 t + 2 cos^4 t = 1. [a]
且つこの t で
dy/dx = (4a sin^3 t cos t)/(-8 cos^3 t sin t)
= - (a sin^2 t)/(2 cos^2 t) = -1 (x + y = 1 の傾き)
即ち
a sin^2 t = 2 cos^2 t. [b]
これを [a] に代入
2cos^2 t sin^2 t + 2 cos^4 t = 1.
2 cos^2 t (1 - cos^2 t) + 2 cos^4 t = 1
2 cos^2 t = 1.
cos t = ±1/√2.
0 ≦t≦π/2 より t = π/4.
[b] に代入して a = 2.

(2)
∫_(π/4)^0 2 cos^4 t d(2 sin^4 t) - 1/8
= 4∫_(π/4)^0 cos^4 t (-8 cos^3 t sin t) dt - 1/8
= 32∫_0^(π/4) cos^7 t sin t dt - 1/8
= -32∫_0^(π/4) cos^7 t d cos t - 1/8
= -4 [cos^8 t]_0^(π/4) - 1/8
= -4 (cos^8 (π/4) - cos^8 0) - 1/8
= -4 (1/16 - 1) - 1/8
= 4× 15/16 - 1/8 = 30/8 - 1/8 = 29/8.


②(1) y = 1/t のグラフを描けば x＜ t ＜ 1 + x なる限りにおいて
1/(1 + x) ＜ 1/t ＜ 1/x
従ってこれらを x から 1 + x まで (t で) 定積分すれば
1/(1 + x) ＜ log(1+x) - log x ＜ 1/x.

(2) (1) に於いて, 特に x に e^x を代入すると
1/(1 + e^x) ＜ log(1 + e^x) - x ＜ 1/e^x.
辺々に x を加えればよい。

(3) x > 0 の時 0 ＜ 1/(1 + e^x) は明らかだから (2) より
x ＜ log(1 + e^x) ＜ x + e^(-x).
∫_0^a  x dx ＜ ∫_0^a log(1 +  e^x) dx ＜ ∫_0^a (x + e^(-x)) dx (a^2)/2 
＜ ∫_0^a log(1 +  e^x) dx ＜ (a^2)/2  - e^(-a) + 1.
従って
1/2 ＜ (1/a^2)∫_0^a log(1 +  e^x) dx ＜ 1/2 - 1/(a^2 e^a) + 1/a^2.
ここで a → +∞ とすると
1/2 ≦ lim_(a→∞) (1/a^2)∫_0^a log(1 +  e^x) dx ≦ 1/2.
従って
 lim_(a→∞) (1/a^2)∫_0^a log(1 +  e^x) dx = 1/2.

お返事２００１／９／２９
from=武田

問１
ｘ＋ｙ＝１より、
ｙ＝－ｘ＋１
傾き－１

ｄｘ
――＝４ａ（sinｔ）³cosｔ
ｄｔ

ｄｙ
――＝８（cosｔ）³（－sinｔ）
ｄｔ

したがって、
ｄｙ　－８（cosｔ）³sinｔ
――＝――――――――――
ｄｘ　４ａ（sinｔ）³cosｔ

　　　－２（cosｔ）²
　　＝――――――――＝－１
　　　ａ（sinｔ）²

ａsin²ｔ＝２cos²ｔ

※ここから先が進めない。誰かアドバイスを！
ｄ３さんとHoshinoさんからメールでアドバイスをいただいておりました。
感謝！！感謝！！

問２
（１）
ｆ（ｘ）＝ｌｏｇｘ

　　　　　　１
ｆ´（ｘ）＝―
　　　　　　ｘ

平均値の定理より、
ｌｏｇ（１＋ｘ）－ｌｏｇｘ　　　　　　　１
―――――――――――――＝ｆ´（ｃ）＝―
　　（１＋ｘ）－ｘ　　　　　　　　　　　ｃ

ただし、ｘ＜ｃ＜１＋ｘ

ｘ＜ｃ＜１＋ｘより、逆数を考えて、

１　１　　１
―＞―＞―――
ｘ　ｃ　１＋ｘ

したがって、
　１　　　　　　　　　　　　　　　　１
―――＜ｌｏｇ（１＋ｘ）－ｌｏｇｘ＜―　………（答）
１＋ｘ　　　　　　　　　　　　　　　ｘ

（２）
ｘ＞０のとき

　１　　　　　　　　　　　　　　　　１
―――＜ｌｏｇ（１＋ｘ）－ｌｏｇｘ＜―　が成り立つから
１＋ｘ　　　　　　　　　　　　　　　ｘ

ｘをｅ^xと置き換えると、
　１　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１
――――＜ｌｏｇ（１＋ｅ^x）－ｌｏｇｅ^x＜――
１＋ｅ^x　　　　　　　　　　　　　　　　　ｅ^x

　１　　　　　　　　　　　　　　　１
――――＜ｌｏｇ（１＋ｅ^x）－ｘ＜――
１＋ｅ^x　　　　　　　　　　　　　ｅ^x

したがって、
　　　１　　　　　　　　　　　　　　　１
ｘ＋――――＜ｌｏｇ（１＋ｅ^x）＜ｘ＋――　………（答）
　　１＋ｅ^x　　　　　　　　　　　　　ｅ^x

（３）
　　　　１　　a　　　　　１
ｌｉｍ　――∫　（ｘ＋―――――）ｄｘ
ａ→∞　ａ²　0　　　　１＋ｅ^x

　　　　　１　　ｘ²　　　－ｅ^x　　　　a
＝ｌｉｍ　――［――＋――――――――］
　ａ→∞　ａ²　２　　（１＋ｅ^x）²　　0

　　　　　１　　ａ²　　　ｅ^a　　　　　１
＝ｌｉｍ　――（――－―――――――＋―）
　ａ→∞　ａ²　２　　（１＋ｅ^a）²　　４

　　　　　　１　　　　ｅ^a　　　　　　１　　　１　　　　　１
＝ｌｉｍ　（―－―――――――――＋―――）＝―－０＋０＝―
　ａ→∞　　２　ａ²（１＋ｅ^a）²　　４ａ²　　２　　　　　２

同様に
　　　　１　　a　　　　１
ｌｉｍ　――∫　（ｘ＋――）ｄｘ
ａ→∞　ａ²　0　　　　ｅ^x

　　　　　１　　ｘ²　　　－ｅ^x　a
＝ｌｉｍ　――［――＋―――――］
　ａ→∞　ａ²　　２　　（ｅ^x）² 0

　　　　　１　　ｘ²　　１　a
＝ｌｉｍ　――［――－――］
　ａ→∞　ａ²　　２　ｅ^x　0

　　　　　１　　ａ²　　１
＝ｌｉｍ　――（――－――＋１）
　ａ→∞　ａ²　　２　　ｅ^a

　　　　　　１　　１　　　１　　　１　　　　　１
＝ｌｉｍ　（―－――――＋――）＝―－０＋０＝―
　ａ→∞　　２　ａ²ｅ^a　　ａ²　　２　　　　　２

（２）の左辺と右辺に極限をつけたものが共に１／２となるから、
その中辺に極限をつけたものも１／２となる。
　　　　１　　a　　　　　　　　　　　　　１
ｌｉｍ　――∫　ｌｏｇ（１＋ｅ^x）ｄｘ＝――　………（答）
ａ→∞　ａ²　0　　　　　　　　　　　　　２