質問<637>2001/9/16
二題ほどお願いします ①実数t(0≦t≦π/2)を媒介変数として x=a・(sint)^4 y=2・(cost)^4 で表される曲線をCとする。ただしaは定数である。 Cはx+y=1に接しているものとする。 (1)aの値を求めよ (2)Cとx+y=1およびx軸で囲まれた部分の面積を求めよ ② (1){1/(1+x)}<{log(1+x)-logx}<1/xを示せ (2){x+(1/(1+e^x))}<log(1+e^x)<x+(1/e^x)を示せ (3)lim(a→∞){1/(a^2)}・∫(0→a){log(1+e^x)}dxを示せ
お便り2001/9/27
from=d3
① t=αのときの接線が直線x+y=1と考えます. a(sinα)^4+2(cosα)^4=1 dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=-2(cost)^2/{a(sint)^2} t=αのとき,-1なので, 2(cosα)^2=a(sinα)^2 この2式から,aを消去して,(cosα)^2=1/2. さらに,(sinα)^2=1/2.よって,a=2となります. ここで,tを消去して,√x+√y=√2 すなわち,y=(√2-√x)^2.これはx+y=1より上方にあります. 接点は,(1/2,1/2)です. ∫from0to1/2,[(√2-√y)^2-(1-y)]dy =[y-4√(2y)y/3+y^2]from0to1/2 =1/12 となります. ② (logx)’=1/xから,平均値の定理から, x<c<x+1で, {log(1+x)-logx}/{(1+x)-x}=1/cから, 上は成り立つ. 上の式で,xのところにe^xを代入して, {1/(1+e^x)}<{log(1+e^x)-loge^x}<1/e^x {x+1/(1+e^x)}<log(1+e^x)<x+1/e^x 証明された. この式を(0→a)で積分して, {1/(a^2)}∫(0→a){x+1/(1+e^x)}dx >{1/(a^2)}∫(0→a)xdx=1/2, {1/(a^2)}∫(0→a){x+1/e^x}dx <{1/(a^2)}∫(0→a)(x+1)dx=1/2+1/a→1/2 (a→∞) よって,∫(0→a)log(1+e^x)dx→1/2 (a→∞)
お便り2001/9/28
from=Hoshino
①(1) x + y = a sin^4 t + 2 cos^4 t = 1. [a] 且つこの t で dy/dx = (4a sin^3 t cos t)/(-8 cos^3 t sin t) = - (a sin^2 t)/(2 cos^2 t) = -1 (x + y = 1 の傾き) 即ち a sin^2 t = 2 cos^2 t. [b] これを [a] に代入 2cos^2 t sin^2 t + 2 cos^4 t = 1. 2 cos^2 t (1 - cos^2 t) + 2 cos^4 t = 1 2 cos^2 t = 1. cos t = ±1/√2. 0 ≦t≦π/2 より t = π/4. [b] に代入して a = 2. (2) ∫_(π/4)^0 2 cos^4 t d(2 sin^4 t) - 1/8 = 4∫_(π/4)^0 cos^4 t (-8 cos^3 t sin t) dt - 1/8 = 32∫_0^(π/4) cos^7 t sin t dt - 1/8 = -32∫_0^(π/4) cos^7 t d cos t - 1/8 = -4 [cos^8 t]_0^(π/4) - 1/8 = -4 (cos^8 (π/4) - cos^8 0) - 1/8 = -4 (1/16 - 1) - 1/8 = 4× 15/16 - 1/8 = 30/8 - 1/8 = 29/8. ②(1) y = 1/t のグラフを描けば x< t < 1 + x なる限りにおいて 1/(1 + x) < 1/t < 1/x 従ってこれらを x から 1 + x まで (t で) 定積分すれば 1/(1 + x) < log(1+x) - log x < 1/x. (2) (1) に於いて, 特に x に e^x を代入すると 1/(1 + e^x) < log(1 + e^x) - x < 1/e^x. 辺々に x を加えればよい。 (3) x > 0 の時 0 < 1/(1 + e^x) は明らかだから (2) より x < log(1 + e^x) < x + e^(-x). ∫_0^a x dx < ∫_0^a log(1 + e^x) dx < ∫_0^a (x + e^(-x)) dx (a^2)/2 < ∫_0^a log(1 + e^x) dx < (a^2)/2 - e^(-a) + 1. 従って 1/2 < (1/a^2)∫_0^a log(1 + e^x) dx < 1/2 - 1/(a^2 e^a) + 1/a^2. ここで a → +∞ とすると 1/2 ≦ lim_(a→∞) (1/a^2)∫_0^a log(1 + e^x) dx ≦ 1/2. 従って lim_(a→∞) (1/a^2)∫_0^a log(1 + e^x) dx = 1/2.
お返事2001/9/29
from=武田
問1 x+y=1より、 y=-x+1 傾き-1 dx ――=4a(sint)3 cost dt dy ――=8(cost)3 (-sint) dt したがって、 dy -8(cost)3 sint ――=―――――――――― dx 4a(sint)3 cost -2(cost)2 =――――――――=-1 a(sint)2 asin2 t=2cos2 t ※ここから先が進めない。誰かアドバイスを! d3さんとHoshinoさんからメールでアドバイスをいただいておりました。 感謝!!感謝!! 問2 (1) f(x)=logx 1 f´(x)=― x 平均値の定理より、 log(1+x)-logx 1 ―――――――――――――=f´(c)=― (1+x)-x c ただし、x<c<1+x x<c<1+xより、逆数を考えて、 1 1 1 ―>―>――― x c 1+x したがって、 1 1 ―――<log(1+x)-logx<― ………(答) 1+x x (2) x>0のとき 1 1 ―――<log(1+x)-logx<― が成り立つから 1+x x xをex と置き換えると、 1 1 ――――<log(1+ex )-logex <―― 1+ex ex 1 1 ――――<log(1+ex )-x<―― 1+ex ex したがって、 1 1 x+――――<log(1+ex )<x+―― ………(答) 1+ex ex (3) 1 a 1 lim ――∫ (x+―――――)dx a→∞ a2 0 1+ex 1 x2 -ex a =lim ――[――+――――――――] a→∞ a2 2 (1+ex )2 0 1 a2 ea 1 =lim ――(――-―――――――+―) a→∞ a2 2 (1+ea )2 4 1 ea 1 1 1 =lim (―-―――――――――+―――)=―-0+0=― a→∞ 2 a2 (1+ea )2 4a2 2 2 同様に 1 a 1 lim ――∫ (x+――)dx a→∞ a2 0 ex 1 x2 -ex a =lim ――[――+―――――] a→∞ a2 2 (ex )2 0 1 x2 1 a =lim ――[――-――] a→∞ a2 2 ex 0 1 a2 1 =lim ――(――-――+1) a→∞ a2 2 ea 1 1 1 1 1 =lim (―-――――+――)=―-0+0=― a→∞ 2 a2 ea a2 2 2 (2)の左辺と右辺に極限をつけたものが共に1/2となるから、 その中辺に極限をつけたものも1/2となる。 1 a 1 lim ――∫ log(1+ex )dx=―― ………(答) a→∞ a2 0 2