質問<673>2001/10/14
円x2+y2=9に点A(5,2)から2本の接線を引く。2つの接点B,Cを通る 直線の方程式、および3点A,B,Cを通る円の方程式を求めよ。 これの直線を求める解答には、B(p,q),C(p',q')とするとB,Cにおける接線 の方程式はそれぞれ px+qy=9 p'x+q'y=9 これらはともに点A(5,2)を通るから 5p+2q=9-① 5p'+2q'=9-② ①,②から、2点B(p,q),C(p',q')は5x+2y=9を満たす。 よって、2点B,Cを通るから直線の方程式は 5x+2y=9 とあるのですが、どうして①,②からこの式が満たされるのか分かりません。 先生に聞いたところ、①,②と置くところまでは同じで、この後、①,②を 通る直線は2点B(p,q),C(p',q')を代入して成り立つ式は5x+2y=9しかない。 と答えが返ってきたのですが、何に代入して成り立つ式は5x+2y=9しかない、 と証明されたのかも分かりません。 ひょっとしたら非常に簡単なことなのかもしれませんが、 よろしくお願いします。(円の方程式の方もお願いします。)
お便り2001/10/17
from=Hoshino
xy 平面上の全ての直線は ax + by = c という形で書ける。 5p + 2q = 9. 5p' + 2q' = 9. だから (p, q), (p', q') 共に 5x + 2y = 9 という式を満たす。 相異なる二点を通る直線は只一本に定まる。 従って, この直線が B, C を通る唯一つの直線 (A の極線 polar という)。 (因みに A は極 pole という) B, C を通る円のうち, 最初の円を除く全ての円は (x^2 + y^2 - 9) + t(5x + 2y - 9) = 0 と書ける (これを pencil という)。 [この方程式は t の値によらず円の方程式の形をしており, B, C の座標を左辺に代入すると = 0 となるから, B, C を通っている] ここに A (5, 2) を代入する。 20 + 20t = 0 即ち t = -1. だから求める円の方程式は x^2 + y^2 - 5x - 2y = 0.