質問＜６７３＞２００１／１０／１４
from=ももっち
「円と直線」

円ｘ2＋ｙ2＝9に点A(5,2)から２本の接線を引く。２つの接点B,Cを通る
直線の方程式、および３点A,B,Cを通る円の方程式を求めよ。
これの直線を求める解答には、B(p,q),C(p',q')とするとB,Cにおける接線
の方程式はそれぞれ
px+qy＝9　p'x+q'y＝9
これらはともに点A(5,2)を通るから
　　　　5p+2q＝9－①　　
　　　　5p'+2q'＝9－②
①，②から、２点B(p,q),C(p',q')は5x+2y＝9を満たす。
よって、２点B,Cを通るから直線の方程式は
　　　　5x+2y＝9
とあるのですが、どうして①，②からこの式が満たされるのか分かりません。
先生に聞いたところ、①，②と置くところまでは同じで、この後、①，②を
通る直線は２点B(p,q),C(p',q')を代入して成り立つ式は5x+2y＝9しかない。
と答えが返ってきたのですが、何に代入して成り立つ式は5x+2y＝9しかない、
と証明されたのかも分かりません。
ひょっとしたら非常に簡単なことなのかもしれませんが、
よろしくお願いします。（円の方程式の方もお願いします。）

お便り２００１／１０／１７
from=Hoshino

xy 平面上の全ての直線は
ax + by = c
という形で書ける。

5p + 2q = 9.
5p' + 2q' = 9.

だから
(p, q), (p', q') 共に
5x + 2y = 9
という式を満たす。
相異なる二点を通る直線は只一本に定まる。
従って, この直線が B, C を通る唯一つの直線 (A の極線 polar という)。
(因みに A は極 pole という)

B, C を通る円のうち, 最初の円を除く全ての円は
(x^2 + y^2 - 9) + t(5x + 2y - 9) = 0
と書ける (これを pencil という)。
[この方程式は t の値によらず円の方程式の形をしており,
B, C の座標を左辺に代入すると = 0 となるから, B, C を通っている]
ここに A (5, 2) を代入する。
20 + 20t = 0
即ち t = -1.
だから求める円の方程式は
x^2 + y^2 - 5x - 2y = 0.