質問<681>2001/10/21
アステロイドっててっきり小惑星帯かと思ってました。 そうしたら、x=a*cos^3t,y=a*sin^3t の媒介変数で表せるとげとげの図形らしいのです。 周囲の長さ、面積、回転体の体積を出せという問題が 出ているのですが、さてどうすればよろしいでしょうか。 3倍角の公式を使ってみたり、いろいろやってみたのですが情けない事 に歯が立たないのです。 よろしくお願いいたします。
お返事2001/11/1
from=武田
①周囲の長さは線積分より、 π/2 dx dy L=4∫ √{(――)2 +(――)2 }dt 0 dt dt {x=acos3 t {y=asin3 t tで微分して、 dx ――=a・3cos2 t・(-sint)=-3asintcos2 t dt dy ――=a・3sin2 t・cost=3asin2 tcost dt dx dy √{(――)2 +(――)2 } dt dt =√(9a2 sin2 tcos4 t+9a2 sin4 cos2 t) =√{9a2 sin2 tcos2 t(cos2 t+sin2 t)} =3asintcost 3a =――sin2t 2 π/2 3a π/2 L=4∫ ――sin2tdt=6a∫ sin2tdt 0 2 0 -cos2t π/2 =6a[―――――] 2 0 1 1 =6a{―-(-―)}=6a………(答) 2 2 ②③は、Hoshinoさんの解答をご覧ください。
お便り2001/11/1
from=Hoshino
asteroid っていうのはギリシャ語の「星」から来ているのですよ。 アスターっていう花があるでしょ ? あとアストロノートとか。 dx/dt = -3a cos^2 t sin t, dy/dt = 3a sin^2 t cos t. 故に dx^2 + dy^2 = (3a)^2 (cos^4 t sin^2 t + sin^4 t cos^2 t)dt^2 = (3a cos^2 t sin^2 t)^2 (cos^2 t + sin^2 t)dt^2 = (3a cos^2 t sin^2 t dt)^2. あとは頑張れば周の長さが出るでしょう。 面積は y dx = 3a sin^3 t ×3a sin^2 t cos t dt = 9a sin^5 t cos t dt. ここで s = sin t と変換すれば ds = cos t dt ですから y dx = 9a s^5 ds. あとは出来るでしょう。 回転体の体積についても πy^2 dx = π×9a^2 sin^6 t × 3a sin^2 t cos t dt = 27πa^3 sin^8 t cos t dt ですが, 面積の時と同じ置換をすれば出来ますね。