質問

質問＜６８１＞２００１／１０／２１
from=明日手ロイド
「アステロイドの積分」

アステロイドっててっきり小惑星帯かと思ってました。
そうしたら、x=a*cos^3t,y=a*sin^3t
の媒介変数で表せるとげとげの図形らしいのです。

周囲の長さ、面積、回転体の体積を出せという問題が
出ているのですが、さてどうすればよろしいでしょうか。
3倍角の公式を使ってみたり、いろいろやってみたのですが情けない事
に歯が立たないのです。
よろしくお願いいたします。

お返事２００１／１１／１
from=武田


①周囲の長さは線積分より、
　　　π/2　　　ｄｘ　　　　ｄｙ
Ｌ＝４∫　√｛（――）²＋（――）²｝ｄｔ
　　　０　　　　ｄｔ　　　　ｄｔ

｛ｘ＝ａcos³ｔ
｛ｙ＝ａsin³ｔ
ｔで微分して、
ｄｘ
――＝ａ・３cos²ｔ・（－sinｔ）＝－３ａsinｔcos²ｔ
ｄｔ

ｄｙ
――＝ａ・３sin²ｔ・cosｔ＝３ａsin²ｔcosｔ
ｄｔ

　　　ｄｘ　　　　ｄｙ
√｛（――）²＋（――）²｝
　　　ｄｔ　　　　ｄｔ

＝√（９ａ²sin²ｔcos⁴ｔ＋９ａ²sin⁴cos²ｔ）
＝√｛９ａ²sin²ｔcos²ｔ（cos²ｔ＋sin²ｔ）｝
＝３ａsinｔcosｔ

　３ａ
＝――sin２ｔ
　２

　　　π/2　３ａ　　　　　　　　　π/2
Ｌ＝４∫　　――sin２ｔｄｔ＝６ａ∫　　sin２ｔｄｔ
　　　０　　２　　　　　　　　　　０

　　　　　－cos２ｔ　π/2
　＝６ａ［―――――］
　　　　　　　２　　０

　　　　　１　　　１
　＝６ａ｛―－（－―）｝＝６ａ………（答）
　　　　　２　　　２

②③は、Hoshinoさんの解答をご覧ください。

お便り２００１／１１／１
from=Hoshino

asteroid っていうのはギリシャ語の「星」から来ているのですよ。
アスターっていう花があるでしょ ? あとアストロノートとか。

dx/dt =  -3a cos^2 t sin t,
dy/dt = 3a sin^2 t cos t.
故に
dx^2 + dy^2
= (3a)^2 (cos^4 t sin^2 t + sin^4 t cos^2 t)dt^2
= (3a cos^2 t sin^2 t)^2 (cos^2 t + sin^2 t)dt^2
= (3a cos^2 t sin^2 t dt)^2.
あとは頑張れば周の長さが出るでしょう。

面積は
y dx = 3a sin^3 t ×3a sin^2 t cos t dt
= 9a sin^5 t cos t dt.
ここで s = sin t と変換すれば ds = cos t dt ですから
y dx = 9a s^5 ds.
あとは出来るでしょう。

回転体の体積についても
πy^2 dx
= π×9a^2 sin^6 t × 3a sin^2 t cos t dt
= 27πa^3 sin^8 t cos t dt
ですが, 面積の時と同じ置換をすれば出来ますね。