質問＜７７８＞２００２／２／４
はじめまして 早速ですが、楕円体に近似した三次元実験データに、楕円体を フィッティングさせようとしております。 通常の楕円体の式である(x/a)^2+(y/b)^2+(z/c)^2=1をx軸、y軸、z軸に 回転変換後に平行移動させた結果を、実験データにフィットするように 最小二乗法を使用して展開したのですが、項数が多すぎて計算が不可能 でした。 何かもっと簡単な方法で求める方法はないでしょうか？ もう一つの手法として、二次曲面の一般式である f(x,y,z)=x^2+a*y^2+b*z^2+c*y*z+d*z*x+e*x*y+f*x+g*y+h*z+i=0 をそれぞれ偏微分しての最小二乗法で係数を算出したのですが、 値が楕円体ではなく、一葉双曲面になってしまいます。 これを楕円体に矯正する方法はないものでしょうか？
お便り２００２／９／９
from=juin
実験データを(x1,y1,z1)...(xn,yn,zn)とする。 平均ベクトルを(mx,my,mz)とする。 (Xi,Yi,Zi)=(xi,yi,zi)-(mx,my,mz)とする。（平行移動） 共分散行列を求める。 V=(vij),(i=1,2,3. j=1,2,3) v11=Σ(Xi)^2/n,v12=Σ(XiYj)/n^2,v13=Σ(XiZj)/n^2,..., v33=Σ(Zi)^2/nとする。 Vは対称行列になる。 Vの固有値（実数になる）をλ1,λ2,λ3とし、 その固有ベクトルをv1,v2,v3とする。 固有値がすべて正の数ならば、v1,v2,v3 （直交している）を軸とする 回転楕円体が最良の近似になると思います。 ３次元の正規分布で近似すると、 その確率密度関数は、 p(a,b,c)=(√(2πλ1λ2λ3))^(-1)*exp(-1/2(a^2/λ1+b^2/λ2+c^2/λ3)) となる。 ここで(a,b,c)は(x,y,z)を回転させた座標である。 Vを対角行列に変形するための直交行列Tを使う。
お便り２０１０／６／７
from=tkfm
気になったので書きます。 juinさんの回答で，共分散行列を使った方法が 書かれていますが，これは楕円状に分布している 点の直交軸を求める場合だと思います。 楕円体の表面データが多く，偏りが少ない場合， （分布の中心が楕円体の中心と一致するとき）は 正解に近づきます。 偏りが無視できないぐらいデータが少ない場合は， この方法は使えません。