質問<82>98/11/13
а1=1,аn+1=2аn+n+1 である数列の一般項аnはどうやって求めるのですか。
お返事98/11/14
from=武田
2つの解き方を考えました。 ①階差数列で考える方法 а1=1,аn+1=2аn+n+1より、 a2=2a1+1+1=4 a3=2a2+2+1=11 a4=2a3+3+1=26 a5=2a4+4+1=57 a6=2a5+5+1=120 数列を考える。 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ……n番目 1 4 11 26 57 120 an 階差 3 7 15 31 63 …… bn 第2階差 4 8 16 32 ……………… cn したがって、 第2階差の数列は等比数列になるから、cn=4・2n-1 したがって、 n-1 n-1 bn=3+Σck=3+Σ4・2k-1 k=1 k=1 =3+4・(2n-1-1)/(2-1) =3+4・2n-1-4 =4・2n-1-1 同様にして、 n-1 n-1 an=1+Σbk=1+Σ(4・2k-1-1) k=1 k=1 =1+4・(2n-1-1)/(2-1)-(n-1) =1+4・2n-1-4-n+1 =4・2n-1-n-2 =2n+1-n-2……(答) ②均衡値an*を利用した差分方程式の解法 а1=1,аn+1=2аn+n+1 変形して аn+1-2аn=n+1 anの係数k=2が1以外なので、右辺が一次式なので、 均衡値an*=k1n+k2とおく。 an+1*-2an*=n+1 {k1(n+1)+k2}-2(k1n+k2)=n+1 (1+k1)n+(1+k2-k1)=0 すべての値nで成り立つためには 1+k1=0∴k1=-1 1+k2-k1=0∴k2=-2 したがって、 an*=-n-2 k=2より an=C・kn+an* =C・2n-n-2 а1=1より、 1=C・21-1-2 C=2 ∴an=2・2n-n-2 =2n+1-n-2……(答) 差分方程式は大概の漸化式は解けますが、ちょっと難しいですね。
お便り98/11/16
from=kyukusu
与式より an+1+n+3=2(an+n+2) と変形して an+n+2=bn とし、b1=a1+1+2=4 bn+1=2bn bn=b1*2n-1=2n+1 ∴an=2n+1-n-2 としてもできます。