質問＜８２＞９８／１１／１３
from=まり
「漸化式について」

а1=１，аn+1=２аn＋ｎ＋１
である数列の一般項аnはどうやって求めるのですか。

お返事９８／１１／１４
from=武田

２つの解き方を考えました。
①階差数列で考える方法
а1=１，аn+1=２аn＋ｎ＋１より、
ａ2＝２ａ1＋１＋１＝４
ａ3＝２ａ2＋２＋１＝１１
ａ4＝２ａ3＋３＋１＝２６
ａ5＝２ａ4＋４＋１＝５７
ａ6＝２ａ5＋５＋１＝１２０
数列を考える。
　　　①　②　③　　　④　　　⑤　　　⑥　　……ｎ番目
　　　１　４　１１　　２６　　５７　　１２０　　ａn
階差　　３　７　　１５　　３１　　６３　　……　　　ｂn
第２階差　４　　８　　１６　　３２　　………………　　　ｃn
したがって、
第２階差の数列は等比数列になるから、ｃn＝４・２n-1
したがって、
　　　　n-1　　　　n-1
ｂn＝３＋Σｃk＝３＋Σ４・２k-1
　　　　k=1　　　　k=1
　　＝３＋４・（２n-1－１）／（２－１）
　　＝３＋４・２n-1－４
　　＝４・２n-1－１
同様にして、
　　　　n-1　　　　n-1
ａn＝１＋Σｂk＝１＋Σ（４・２k-1－１）
　　　　k=1　　　　k=1
　　＝１＋４・（２n-1－１）／（２－１）－（ｎ－１）　　＝１＋４・２n-1－４－ｎ＋１
　　＝４・２n-1－ｎ－２
　　＝２n+1－ｎ－２……（答）

②均衡値ａn*を利用した差分方程式の解法
а1=１，аn+1=２аn＋ｎ＋１
変形して
аn+1－２аn＝ｎ＋１
ａnの係数ｋ＝２が１以外なので、右辺が一次式なので、
均衡値ａn*＝ｋ1ｎ＋ｋ2とおく。
ａn+1*－２ａn*＝ｎ＋１
｛ｋ1（ｎ＋１）＋ｋ2｝－２（ｋ1ｎ＋ｋ2）＝ｎ＋１
（１＋ｋ1）ｎ＋（１＋ｋ2－ｋ1）＝０
すべての値ｎで成り立つためには
１＋ｋ1＝０∴ｋ1＝－１
１＋ｋ2－ｋ1＝０∴ｋ2＝－２
したがって、
ａn*＝－ｎ－２

ｋ＝２より
ａn＝Ｃ・ｋn＋ａn*
　　＝Ｃ・２n－ｎ－２
а1=１より、
１＝Ｃ・２1－１－２
Ｃ＝２
∴ａn＝２・２n－ｎ－２
　　　＝２n+1－ｎ－２……（答）
差分方程式は大概の漸化式は解けますが、ちょっと難しいですね。

お便り９８／１１／１６
from=kyukusu

与式より
ａn+1+n+3=2(ａn+n+2)
と変形して
ａn+n+2=ｂn
とし、ｂ1=ａ1+1+2=4
ｂn+1=２ｂn
ｂn=ｂ1*2n-1=2n+1
∴ａn=2n+1-n-2
としてもできます。