質問＜８４４＞２００２／５／１９
from=みっちー
「通過範囲」

２次関数ｆ(ｘ)＝ｘ２乗上に２点P(ａ、ｆ(ａ))、Ｑ(ａ+２、ｆ(ａ+２))
をとる。ａが―１以上の任意の実数をとるとき、線分の通過範囲を求めよ。
この問題がよくわかりません。特に通過範囲を求めよってところです。
教えてください、よろしくお願いします。
できれば火曜日までがいいんですけど。

お便り２００２／５／２０
from=CharlieBrown

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※５／２３にメールを開いたときにこのお便りを発見。掲載が
遅くなってごめんなさい。(×_×;）武田
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[考え方]
ａ＝０の時を例に考えます。
このとき、Ｐ（０，０）、Ｑ（２，４）ですから、
線分ＰＱの方程式は、
ｙ＝２ｘ　・・・（１）
かつ　放物線ｙ＝ｘ＾２の内側、
となります。
放物線の内側の点（１／２，１）は（１）式を満たしますので、
線分ＰＱ上にあると言えます。

逆に、ａの値が定まってないとき、
点（１／２，１）が線分ＰＱ上にあるのかどうかを判定するには、
次のようにすればよいでしょう。
Ｐ（ａ，ａ＾２），Ｑ（（ａ＋２），（ａ＋２）＾２）より、
線分ＰＱの方程式は、
　　（ａ＋２）＾２－ａ＾２　
ｙ＝―――――――――――（ｘ－ａ）＋ａ＾２
　　　　（ａ＋２）－ａ
　＝２（ａ＋１）ｘ－ａ＾２－２ａ　・・・（２）
かつ　放物線ｙ＝ｘ＾２の内側、
となります。
点（１／２，１）がＰＱ上なら（２）式を満たすはずです。
よって、（１／２，１）を代入すると、
１＝２（ａ＋１）・１／２－ａ＾２－２ａ
整理して、
ａ＾２＋ａ＝０　・・・（３）
ａ（ａ＋１）＝０
∴ａ＝０，－１
と求まります。
ａ＝－１のときも線分ＰＱが点（１／２，１）を通ることがわかります。

以上から、もし一般の点（Ｘ，Ｙ）が線分ＰＱ上にあるなら、
そのときのａの値は上のように方程式を解くことでわかりますが、
その解は与えられた条件ａ≧－１を満たすはずです。
また、放物線の内側であることを式で表すと、
領域の概念を用いて、
ｙ≧ｘ＾２
と表せます。

[解答]
線分ＰＱの方程式（２）に点（Ｘ，Ｙ）を代入して整理すると、
ａ＾２－２（Ｘ－１）ａ＋（Ｙ－２Ｘ）＝０　・・・（４）
かつ　Ｙ≧Ｘ＾２　・・・（５）
となります。
点（Ｘ，Ｙ）が線分ＰＱ上ならば、
２次方程式（４）はａ≧－１に実数解を持つはずです。
これは２次方程式の解の配置の問題です。
（４）がａ≧－１に実数解を持つ条件は、
（４）の左辺をｆ（ａ）とおくと、
Ｄ／４≧０，Ｘ－１≧０，ｆ（－１）≧０　・・・（６）
または、
ｆ（－１）＜０　・・・（７）
です。
（６）を解くと、
Ｙ≦ｘ＾２＋１，Ｘ≧０，Ｙ≧１　・・・（８）
（７）を解くと、
Ｙ≦１　・・・（９）
となるので、
｛（８）または（９）｝かつ（５）
が答えになります。
図示してみるとわかりやすいでしょう。
解の配置については数Ⅰの参考書を見てください。