質問＜８４７＞２００２／５／２５
from=まぐ
「数列の極限」

次の問題をお願いします。
（１）
正三角形ＡＢＣの内接円Ｏ1の半径をｒとする。
辺ＡＢ，ＢＣと円Ｏ1に接する円をＯ2とし、辺ＡＢ，ＢＣと円Ｏ2に接
する円をＯ3とする。
このように、次々に小さくなる円を作るとき、
全ての円の面積の和を求めよ。

（２）
直角三角形ＡＢＣの直角の頂点Ａから辺ＢＣに垂線ＡＡ1を下ろし、
Ａ1から辺ＡＣにＡ1Ａ2を下ろす。以下同様に、Ａ2Ａ3、Ａ3Ａ4・・・・
と下ろすとき、△ＣＡＡ1、△ＣＡ1Ａ2、△ＣＡ2Ａ3・・・・の面積の
総和が△ＡＢＣの面積を超えないためには、∠Ｃの大きさはどんな範囲
になければならないか。

お便り２００２／６／７
from=ｆａｎ

(1) O1とO2の接点から接線を引くと、これとAB,BCとで小さな
　　正三角形ができます。
　　これとABCとの比がそのままO2とO1との比になります。
　　ここで、BからACに中線BMを引くと、O1の中心が正三角形ABCの
　　重心と一致することなどから、BM:r=3:1です。
　　よって、O1とO2の接点をM'とすると、BM'=BM-2rより
　　BM:BM'=3:1となり、結局面積ではO1:O2=9:1です。
　　従って求める面積は初項πr^2、公比1/9の無限等比級数の和です。

(2) まず、全ての三角形は相似です。
　　角Cの大きさをθとすると、CAA1:CA1A2=CA1:CA2=1:cosθ
　　となります。よって、面積は一つ進むごとに1/(cosθ)^2になります。
　　従って、ABCの面積をSとおくと、
　　S≧S{(cosθ)^2+(cosθ)^4+…}=S*(cosθ)^2/{1-(cosθ)^2}
       よって(cosθ)^2≦1/2で、0＜θ＜π/2でないといけないので
　　π/4≦θ＜π/2です。