質問<856>2002/6/4
Pを与えられた素数とする時、 (1) 0以上1未満の分数で、分母がPである既約分数の個数を求めよ。 (2) m,n (m<n)を正の整数とするとき、 m以上n未満の分数で、分母がPである既約分数の個数を求めよ。 (3) (2)で得られた既約分数の総和を求めよ。 お願いします。
お便り2002/6/7
from=toshi
(1) P/P=1より分子はP-1まで考える。 Pは素数なのでPと1~P-1では常に互いに素である。 よって1~P-1のP-1個である。 (2) 規約分数の値をA、分子の値をQと置く。 まずm以上m+1未満を考えると A=Q/P=m+Q'/Pである。 (1)を利用すればこのようなQ'つまりQはP-1個ある。 m+1以上m+2未満…と考えていけば計(n-m)×(P-1)個ある。 (3) (2)においてQ'は1・2・3・…P-1を値として取る{(1)より} m以上m+1未満を考えると S=∑A(m以上m+1未満)=∑m+∑Q'/P (Q'について和を取りP-1個) =m(P-1)+(P-1)(P-1+1)/2P =m(P-1)+(P-1)/2 よってA=∑S(m~n-1) (mについて和を取り(n-m)個) =∑m(P-1)+∑(P-1)/2 =(n-1)(n-1+1)/2(P-1) - m(m+1)/2(P-1) + (P-1)(n-m)/2 ={n(n-1)-m(m+1)}/2(P-1) +(P-1)(n-m)/2 =(n+m)(n+m-1)/2(P-1) + (P-1)(n-m)/2 答えには自信がありません。 でも解く方針としてはこれでいいかと思います。
お便り2002/6/8
from=d3
(1) 分子をk(:整数)とします.k=0では分数にならないので不適で除外. 0<k/p<1から,0<k<pで,k=1,2,・・・,p-1で, いずれもpと互いに素なので,k/pは既約分数になります. (2) m≦k/p<nを解くと, mp≦k<np. k=mp,mp+1,mp+2,・・・,np-1で,全部で(n-m)p個あります. kがpの倍数であれば,既約分数になりませんが, これ以外なら既約分数になります. pの倍数になる場合の(n-m)個を除けばいいです. したがって,(n-m)(p-1)個となります. (3) (2)の全部の和-(2)の除外するモノの和 ={Σ(k=mp→np-1),(k/p)}-{Σ(k=m→n-1),k} ={(m+n)(n-m)(p-1)}/2