質問<858>2002/6/6
連立方程式を加減法で解く。 ax+(a-1)y=1 *****(1) (a+1)x+ay=3 *****(2) (1)*(a+1)-(2)*a より y=2a-1 (1)に代入すると、 ax=-2a^2+3a (ア)a≠0のとき x=-2a+3 (イ)a=0のとき 0・x=0 となりxは任意となる。 a=0のときは、はじめの式に代入すると y=-1、x=3であるが、 上記の推論の誤りはどこにあるのでしょうか? 教えてください。
お便り2002/6/7
from=fan
誤りというより不足があります。 (2)-(1)より、x+y=2となります。これはaの値が何であっても 成り立たなければいけないので、a=0のときy=-1より、 x=3とならなければなりません。
お便り2002/6/7
from=toshi
まず、答えから言えばaによらず(a=0でもよい) x=-2a+3 y=2a-1 推論の誤りはおそらく、(イ)において xは任意となるではなく、xは一つに特定できないと考えるべきだと 思います。 つまり、(1)では特定出来ないので(2)に代入しなおさなければ いけない。 よってx=3となる。 何故そう考えるのかは、(解法1) > (1)*(a+1)-(2)*a においてa=0のとき(2)式は式の変形に関与していない。 つまり、一つの式で方程式を解こうとしているわけだから解は任意に なってしまう。 そこに関与していない(2)式から求められたyの値を考えているのだから 誤りが生じている。 例を示すなら(解法2) (1)*a-(2)*(a-1)を考えx=-2a+3 (2)式に入れれば、a=0のときyは任意になる(試してみてください) 解法1では(2)が、解法2では(1)が関与していない。 よってこの両方を採用して解かなければいけない。
お便り2002/6/8
from=d3
{ax+(a-1)y=1 ・・・(1) {(a+1)x+ay=3 ・・・(2) (1)×(a+1)-(2)×a より y=2a-1 (1)に代入すると,ax=-2a^2+3a a(x+2a-3)=0 これから,a=0またはx=-2a+3としています. ここで,論理をみていきます. 連立方程式をかき換えていているのですが, {(1) ⇔ {(1)×(a+1)-(2)×a {(2) {(1) としています. よく見てください. a=0のときは,右の二式は上の式も下の式も(1)となって同値 ではありません. だから,a≠0のときは,(2)を採用しなくてはいけません. どうでしょうか?