質問<879>2002/6/24
x^2+y^2=9と(x-a)^2+(y-b)^2=4であらわされる2円の共有点を 通る直線の方程式が、6x+2y-15=0となるような(a,b)を求めよ。 というものです。 私の解答としては、 2円の共有点を通る直線の方程式が (x-a)^2+(y-b)^2-4+k(x^2+y^2-9)=0 とあらわせる。 直線の方程式を表すためには、k=-1として、 2ax+2by-(a^2+b^2+5)=0 となる。 これが、6x+2y-15=0と一致するので、 2a=6 ―① 2b=2 ―② a^2+b^2+5=15 ―③ とし、①よりa=3,②よりb=1、これらは③を満たす。 よって、(a,b)=(3,1) としたのですが、解答に(3/2,1/2)という組もありました。 確かに逆算すると、3x+y-15/2=0となり、2倍すれば 6x+2y-15=0に一致しますが、この(3/2,1/2)の出所は どこなのでしょう?この組も必要なのですかね?
お便り2002/6/24
from=toshi
解答の指針は正しいと思います。 気になった点としては 〉 2円の共有点を通る直線の方程式が 正しくは「2円の共有点を通る円、若しくは直線の方程式が」 です(って単に間違えただけだと思いますけど) > これが、6x+2y-15=0と一致するので、 →これが、6x+2y-15=0の定数倍と一致するので、この定数をnとおく。 2a=6n ―① 2b=2n ―② a^2+b^2+5=15n ―③ とし、①よりa=3n,②よりb=n、これらを③に代入すれば n=1,1/2を得る。 よって、(a,b)=(3,1),(3/2,1/2) 一般に方程式は式全体をk(kは0ではない)倍しても式は変わらない。 多分、式だけで解かずに作図をして、 半径3の円と6x+2y-15=0の交点が二つ得られる。 この2点を通って半径が2の円の中心は6x+2y-15=0を対称に 二つ得られる。 よってa,bの組みは(きっと)二つ得られる。 とした方が今回のような間違えにならないと思います (自分はまずこう考えました)
お便り2002/6/25
from=phaos
勿論その組も必要です。 何故かというと, 違う円を表しているからですね。 さて, y = ax + b 型の直線の式と違って, ax + by + c = 0 型の 直線の方程式は両辺を何倍かしても 同じ直線を表します。従って 「これが 6x + 2y - 15 = 0 と一致するので」 の次はこうしなければいけません。 2a = 6t, 2b = 2t, a^2 + b^2 + 5 = 15t、 t ≠ 0. こうすると 10t^2 -15t + 5 = 0 から t = 1, 1/2 の両方が得られるわけです。