質問

x^2+y^2=9と(x-a)^2+(y-b)^2=4であらわされる2円の共有点を
通る直線の方程式が、6x+2y-15=0となるような(a,b)を求めよ。

というものです。

私の解答としては、
2円の共有点を通る直線の方程式が
(x-a)^2+(y-b)^2-4+k(x^2+y^2-9)=0
とあらわせる。
直線の方程式を表すためには、k=-1として、
2ax+2by-(a^2+b^2+5)=0
となる。
これが、6x+2y-15=0と一致するので、
2a=6　―①
2b=2　―②
a^2+b^2+5=15　―③
とし、①よりa=3,②よりb=1、これらは③を満たす。
よって、(a,b)=(3,1)

としたのですが、解答に(3/2,1/2)という組もありました。
確かに逆算すると、3x+y-15/2=0となり、2倍すれば
6x+2y-15=0に一致しますが、この(3/2,1/2)の出所は
どこなのでしょう？この組も必要なのですかね？

お便り２００２／６／２４
from=toshi

解答の指針は正しいと思います。
気になった点としては

〉 2円の共有点を通る直線の方程式が
正しくは「2円の共有点を通る円、若しくは直線の方程式が」
です（って単に間違えただけだと思いますけど）

> これが、6x+2y-15=0と一致するので、
→これが、6x+2y-15=0の定数倍と一致するので、この定数をnとおく。

2a=6n　―①
2b=2n　―②
a^2+b^2+5=15n　―③
とし、①よりa=3n,②よりb=n、これらを③に代入すれば
n=1,1/2を得る。
よって、(a,b)=(3,1),(3/2,1/2)

一般に方程式は式全体をｋ（ｋは0ではない）倍しても式は変わらない。

多分、式だけで解かずに作図をして、
半径3の円と6x+2y-15=0の交点が二つ得られる。
この2点を通って半径が2の円の中心は6x+2y-15=0を対称に
二つ得られる。
よってa,bの組みは（きっと）二つ得られる。

とした方が今回のような間違えにならないと思います
（自分はまずこう考えました）

お便り２００２／６／２５
from=phaos

勿論その組も必要です。
何故かというと, 違う円を表しているからですね。

さて, y = ax + b 型の直線の式と違って, ax + by + c = 0 型の
直線の方程式は両辺を何倍かしても
同じ直線を表します。従って
「これが 6x + 2y - 15 = 0 と一致するので」
の次はこうしなければいけません。
2a = 6t,
2b = 2t,
a^2 + b^2 + 5 = 15t、
t ≠ 0.

こうすると
10t^2 -15t + 5 = 0
から t = 1, 1/2 の両方が得られるわけです。