質問<90>98/11/28
以下の問いのを解いたのですが、解答に自信がありません。 解き方があっているか見て下さい。お願いします。 → お互いに直行する3つのベクトルをa=(1,2,1) → → b=(0,-1,2),c=(-5,2,1)とし、さらにベクトル → → → → → d=(p,q,r)は、a,bとの内積がそれぞれ a・b=2 → → b・d=-1であるとする。 → → (1)c, d を2辺とする平行四辺形の面積Sを求めよ。 → → → → (2)c・d=d・e=0 で大きさがSとなるベクトル → e=(x,y,z)を求めよ。 ----------------------------------------------------- → → (1)a・d=p+2q+r=2 ―① → → b・d=0-q+2r=-1 ―② ②を①に代入する p+2(2r+1)+r=2 p=-5r → ∴d=(p,q,r)=(-5r,2r+1,r) sin2θ+cos2θ=1 → → → → c・d=|c||d|cosθ (三角形の内積より) sinθ>0 → → S=2・|c||d|sinθ/2 これを計算すると → → → → =√|c|2|d|2-(c・d)2 ―* → → → → √内の|c|2,|d|2,(c・d)2 をそれぞれ先に計算しておくと → |c|2=√(25+4+1)2=30 → |d|2=√(25r2+4r2+4r+1+r2)2=30r2+4r+1 → → (c・d)2=(25r+4r+2+r)2=900r2+120r+4 これらを * に代入すると √30(30r2+4r+1)-900r2+120r+4=√26 ∴S=√26 → → → → (2)c・d=d・e=0 より -5x+2y+z=0 z=5x-2y ―① -5rx+(2r+1)y+rz=0 ―② ①を②に代入する -5xr+(2r+1)y+r(5x-2y)=0 ∴y=0,z=5x → よって e=(x,0,5x) → |e|=√x2+25x2=√26 両辺2乗して 26x2=26 x2=1 x=1,-1 → ∴e=(1,0,5),(-1,0,-5)
お返事98/11/29
from=武田
問の中で2ヶ所に一部誤りがあります。 -------------------------------------------------------- → → → → → d=(p,q,r)は、a,bとの内積がそれぞれ a・b=2 -------------------------------------------------------- → → → → a・b=2ではなく、a・d=2ですね。 -------------------------------------------------------- → → → → (2)c・d=d・e=0 で大きさがSとなるベクトル -------------------------------------------------------- → → → → c・d=0ではなく、c・e=0ですね。 2ヶ所の誤りを正せば、解答は良くできています。 次の箇所の説明をもう少し丁寧にしましょう。 sin2θ+cos2θ=1 → → → → c・d=|c||d|cosθ (三角形の内積より) 三角形の内角θは必ずsinθ>0 したがって、 → → c・d cosθ=──── → → |c||d| sin2θ=1-cos2θ → → → → √{|c|2|d|2-(c・d)2} sinθ=──────────────── → → |c||d| 平行四辺形の面積は → → S=|c||d|sinθでいいですよ。 → → → → S=√{|c|2|d|2-(c・d)2} ―* → → → → √内の|c|2や|d|2や(c・d)2 を それぞれ先に計算しておくと → |c|2=√(25+4+1)2=30 → |d|2=√(25r2+4r2+4r+1+r2)2 =30r2+4r+1 → → (c・d)2=(25r+4r+2+r)2 =900r2+120r+4 これらを * に代入すると √{30(30r2+4r+1)-(900r2+120r+4)} =√(900r2+120r+30-900r2-120r-4) =√26 ∴S=√26 この問題はベクトルの内積に対して、ベクトルの外積を求め ることを意図している問題です。外積 → → → → c×dは大きさが、cとdでできる平行四辺形の面積で、 → → 方向は、cとd両方に垂直方向です。 → → → → c×dとd×cでは、大きさは同じですが、向きが逆となり ます。 → (2)のeの答が2つあったのはこういうわけでした。