質問＜２１１０＞２００４／１２／１２
from=よるこ
「放物線」

よろしくお願いします。
二つの放物線
C1：y=ax2(a>0)（axの二乗です）
C2:y=-1/2x2＋6（マイナス二分の一xの二乗＋6)
によって囲まれた部分にx軸、ｙ軸に平行な辺をもつ長方形ABCDが
内接している。また、C1,C2の二つの共有点をP,Qとするとき、その
y座標は4である。ただし、点A,B,Pはいずれも第一象限にあり、点B
は点Aより上方にあるものとする。
(1)放物線C1,C2の共有点P,Qの座標とaの値
(2)点Aのx座標とtとする。
　　(i)長方形ABCDが直線PQによって分けられる二つの部分の面積を
　　　　S,T(S>T)とするとき、その面積比を最も簡単な整数の比で
　　　　あらわすと？
　　(ii)長方形ABCDの周の長さをlとするとlはtがどんなとき最小値
　　　　になり、最大値になるか。

★希望★完全解答★

お便り２００４／１２／２０
from=wakky

(1)
ax^2=(-1/2)x^2+6を解いて
x^2=12/(2a+1)・・・①
交点のy座標が4だから
(-1/2)(12/2a+1)+6=4
これを解いて
a=1・・・（答）
①より
x^2=4よってx=±2
したがって
P(2,4),Q(-2,4)・・・（答）

(2)
(i)
A,Bの座標は
A(t,t^2),B(t,(-1/2)t^2+6)
また BC=2t
このとき 0＜t＜2
線分PQによって分けられる
上の部分の面積は
2t{(-1/2)t^2+6-4}=-t^3+4t
下の部分の面積は
2t(4-t^2)=-2t^3+8t
(-2t^3+8t)-(-t^3+4t)=-t(t+2)(t-2)>0
なぜなら 0＜t＜2 だから
S>Tだから
S=-2t^3+8t,T=-t^3+4t
よって
S:T=2:1・・・（答）

(ii)
lは見にくいので、Lにします。
AB+BC=L/2よりL=2(AB+BC)
AB=(-1/2)t^2+6-t^2,BC=2t
ゆえに
L=-3t^2+4t+12
 =-3{t-(2/3)}^2+40/3
【グラフを書いてみてくださいね】
0＜t＜2より
t=2/3のときLの最大値40/3
最小値はなし。

※※
0≦t≦2ならばt=2のとき最小値8となりますが
t=0,t=2のときは、長方形ABCDを作ることはできません。
t=0のときは
AとD、BとCが一致してしまいます。
t=2のときは
AとB、CとDが一致してしまいます。