質問＜３００４＞２００６／３／２
from=はっさく
「面積」

点(-1,2)を通る傾きaの直線が放物線y=x^2と異なる点で交わるとき、
これらに囲まれる面積をＳとする。
①Ｓをaを用いて表せ。
②Ｓの最小値を求めよ。

今日中に分かれば嬉しいです！

★希望★完全解答★

お返事２００６／３／２
from=武田

点(-1,2)を通る傾きaの直線は、ｙ－２＝ａ（ｘ＋１）より、
ｙ＝ａｘ＋ａ＋２
この直線と放物線ｙ＝ｘ^2の交点は、連立を解けばよいから、
ｘ^2＝ａｘ＋ａ＋２
ｘ^2－ａｘ－ａ－２＝０
この２次方程式の２解をα、β（α＜β）とすると、
解と係数の関係より、α＋β＝ａ、αβ＝－ａ－２………①

（１）
図から直線の方が放物線より上にあるから、
　　　β
Ｓ＝∫　｛（ａｘ＋ａ＋２）－ｘ^2｝ｄｘ
　　　α

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　β
　＝［（ａ／２）ｘ^2＋（ａ＋２）ｘ－（１／３）ｘ^3］
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　α

　＝（ａ／２）（β^2－α^2）＋（ａ＋２）（β－α）－（１／３）（β^3－α^3）

①より、
β－α＝√｛（α＋β）^2－４αβ｝
　　　＝√（ａ^2＋４ａ＋８）
β^2－α^2＝（β＋α）（β－α）
　　　　　＝ａ√（ａ^2＋４ａ＋８）
β^3－α^3＝（β－α）（β^2＋αβ＋α^2）
　　　　　＝（β－α）｛（β＋α）^2－αβ｝
　　　　　＝（ａ^2＋ａ＋２）√（ａ^2＋４ａ＋８）

したがって、
Ｓ＝(a/2)a√(a^2+4a+8)＋(a+2)√(a^2+4a+8)－(1/3)(a^2+a+2)√(a^2+4a+8)
　＝｛(a^2)/2＋(a+2)－(1/3)(a^2+a+2)｝√(a^2+4a+8)
　＝(1/6)（3a^2＋6a＋12－2a^2－2a－4）√(a^2+4a+8)
　＝(1/6)（a^2＋4a＋8）√(a^2+4a+8)……（答）

（２）
Ｓ＝(1/6)（a^2＋4a＋8）√(a^2+4a+8)
　＝(1/6)（a^2＋4a＋8）^(3/2)

ａで微分して、
ｄＳ／ｄａ＝(1/4)（a^2＋4a＋8）^(1/2)・(2a＋4)
　　　　　＝｛(a＋2)/2｝・（a^2＋4a＋8）^(1/2)

ｄＳ／ｄａ＝０とおくと、
a^2＋4a＋8＝（a+2）^2＋４＞０より、（ａ＋２）＝０
∴ａ＝－２

増減表
ａ｜………｜－２｜………
――――――――――――
S'｜　－　｜０　｜　＋
――――――――――――
Ｓ｜減少　｜極小｜増加

ａ＝－２のとき、最小値Ｓ＝(1/6)｛（-2)^2＋4(-2)＋8｝^(3/2)
　　　　　　　　　　　　＝(1/6)（４）^(3/2)
　　　　　　　　　　　　＝(1/6)８
　　　　　　　　　　　　＝８／６＝４／３……（答）