質問<3004>2006/3/2
点(-1,2)を通る傾きaの直線が放物線y=x^2と異なる点で交わるとき、 これらに囲まれる面積をSとする。 ①Sをaを用いて表せ。 ②Sの最小値を求めよ。 今日中に分かれば嬉しいです! ★希望★完全解答★
お返事2006/3/2
from=武田
点(-1,2)を通る傾きaの直線は、y-2=a(x+1)より、 y=ax+a+2 この直線と放物線y=x^2の交点は、連立を解けばよいから、 x^2=ax+a+2 x^2-ax-a-2=0 この2次方程式の2解をα、β(α<β)とすると、 解と係数の関係より、α+β=a、αβ=-a-2………① (1) 図から直線の方が放物線より上にあるから、 β S=∫ {(ax+a+2)-x^2}dx α β =[(a/2)x^2+(a+2)x-(1/3)x^3] α =(a/2)(β^2-α^2)+(a+2)(β-α)-(1/3)(β^3-α^3) ①より、 β-α=√{(α+β)^2-4αβ} =√(a^2+4a+8) β^2-α^2=(β+α)(β-α) =a√(a^2+4a+8) β^3-α^3=(β-α)(β^2+αβ+α^2) =(β-α){(β+α)^2-αβ} =(a^2+a+2)√(a^2+4a+8) したがって、 S=(a/2)a√(a^2+4a+8)+(a+2)√(a^2+4a+8)-(1/3)(a^2+a+2)√(a^2+4a+8) ={(a^2)/2+(a+2)-(1/3)(a^2+a+2)}√(a^2+4a+8) =(1/6)(3a^2+6a+12-2a^2-2a-4)√(a^2+4a+8) =(1/6)(a^2+4a+8)√(a^2+4a+8)……(答) (2) S=(1/6)(a^2+4a+8)√(a^2+4a+8) =(1/6)(a^2+4a+8)^(3/2) aで微分して、 dS/da=(1/4)(a^2+4a+8)^(1/2)・(2a+4) ={(a+2)/2}・(a^2+4a+8)^(1/2) dS/da=0とおくと、 a^2+4a+8=(a+2)^2+4>0より、(a+2)=0 ∴a=-2 増減表 a|………|-2|……… ―――――――――――― S'| - |0 | + ―――――――――――― S|減少 |極小|増加 a=-2のとき、最小値S=(1/6){(-2)^2+4(-2)+8}^(3/2) =(1/6)(4)^(3/2) =(1/6)8 =8/6=4/3……(答)