質問＜３０２４＞２００６／３／１２
from=貴雄
「証明」

（１）
４数から成るしゅうごうBが乗法・除法に関して閉じていれば
｛１、－１、ⅰ、－ⅰ｝となることを１、ｂ、ｂの２乗、ｂの３乗、
ｂの４乗を用いて証明せよ。
という問題で０は含まない、
Ｂ∋１は証明できたのですがｂの２乗、ｂの３乗、ｂの４乗をという
ところが解りません…

（２）
二次行列の集合
X=｜a b｜a、b、c、d∈R、ab-cd≠0
　｜c d｜
　は行列の積について群になることを示せ。
という問題で
①演算に閉じていること
②結合律は実行列より環をみたすから存在する。
③単位元｜１０｜が存在する
　　　　｜０１｜
④逆行列がab-cd≠0となることから存在する。
というとこまでわかるのですが証明ができないです。

本当に申し訳ないのですが教えてください。御願いします 

★希望★完全解答★

お便り２００６／４／１６
from=BossF

(1）まずb∈Bなるbが存在するとBは除法に関して閉じているから　b/b=1∈B 

さて、b∈B ∧ |b|≠1,0 とすると

|b|,|b^2|,|b^3|,|b^4|,|b^5|…は全て異なるから
b,b^2,b^3,b^4,b^5…は全て異なり、これは矛盾

よって、b∈Bならば、|b|=1,0
ところが、0は含まないから|b|=1　…①

さて、b∈B、0＜arg(b)＜π/2　とすると
0＜arg(b)＜arg(b^2)＜arg(b＾3)＜arg(b＾4)＜2π
だから、1とあわせて、最低5つの元を持つから矛盾

同様に　b∈B、π/2＜arg(b)＜π　
　　　　b∈B、π＜arg(b)＜3π/2
　　　　b∈B、3π/2＜arg(b)＜2π　
の時も矛盾を示せるから
　　　　　　　　　　　　arg(b)=kπ/2 (k;整数）…②
①②より　B={±1、±i｝

なんかもっと綺麗な証明ができそうなんですがすみません(^^;;


(2)Wikipediaの群論によりますと、

「群（通常の定義）
積（二項演算、二項算法） a × b が定義された空でない集合 G が以下の 3 つの条件

積 × に関する結合法則が成立する; 
(a × b)× c = a ×(b × c) (for all a, b, c ∈ G)。 

単位元 e が存在する; a × e = e × a = a (for all a ∈ G) 
G の任意の元 a に対しその逆元 a-1 が存在する; a × a-1 = a-1 × a = e。 
を満たすならば、G は群であるまたは G は（演算 × に関して）群を成すという。
ここで、「二項演算が定義されている」というのは

任意の積 a × b は G の中に存在する; a × b ∈ G (for all a, b ∈ G)。 
という条件を意味するものである。 また、演算の記号 × は普通省略されて a×b は
単に ab と書かれる。」

すると、もう証明は終わってるのでは？

お便り２００６／４／１７
from=BossF

何度も質問がきているようなので、ミスがないように丁寧にやります(=^・^=)

[解]
４数からなる集合Ｂが乗法と除法に関して閉じてる…①
まずBは①により0を元に持たないことに注意する

∀a∈Bに対しa/a=1だから、①より1∈B

さて１以外のBの元の一つをｂとおくと

①より{1,b,b^2,b^3,b^4}⊆Bだから、

1,b,b^2,b^3,b^4の少なくとも一つは一致する
ここで、b≠1よりb≠b^2,b^2≠b^3,b^3≠b^4に注意すると
1=b^2,1=b^3,1=b^4,b=b^3,b=b^4,b^2=b^4
i.e.
1=b^2,1=b^3,1=b^4

(i)b^2=1のとき
　b≠1だからb=-1
　∴ｃ∈B ∧ｃ≠±1…②　なるｃが存在
　すると(-1)・c=－c∈Bで,ｃ≠±1より-ｃ≠±1だから
　±1,±c　は異なる４数
　よって①よりc^2=±1,±c これと②よりc=±i
  i.e. B={±1,±i}が必要

(ii)b^3=1
   b≠1だからb=ω　（x^3=1の虚根の一つをωとすると他方はω^2で、
　それらは互いに共役であることは既知とします）
　　明らかにω^2∈B なので
　c∈B ∧ｃ≠1,ω,ω^2…②なるcが存在せねばならない
  するとcω＝1,ω,ω^2,c(≠0)
  すなわち c=ω^2,1,ω またはω=1
  これは矛盾　よってb^3=1の時①は成立しない

(iii)b^4=1のとき
　　b=-1,±i
    b=-1なら(i)で示したごとく残りは±i
　　b=iなら b^2=-1 と残りは -i
    b=-iなら b^2=-1 と残りは i
   いずれにせよB={±1,±i}が必要

十分性は明らかなので
以上より
　　　①⇔B={±1,±i}