質問＜３１６６＞２００６／５／１３
from=Akkunn
「ベクトル」

はじめまして。早速教えてください。

平面上に正五角形がある。その中心をPとするとき、
→PA＋→PB＋→PC＋→PD＋→PEを求めよ。

★希望★完全解答★

お便り２００６／５／２０
from=wakky

ちょっと雑な解答ですがお許しを

線分ＰＢ上に、四角形ＡＰＣＱが平行四辺形になるような、点Ｑをとることができる。
このとき、→ＰＱ＝→ＰＡ＋→ＰＣ
点Ｑは線分ＰＢ上にあるから
→ＰＱ＝ｋ・→ＰＢ（０＜ｋ＜１）を満たす実数ｋが存在する。
したがって
→ＰＡ＋→ＰＣ＝ｋ・→ＰＢ・・・①
同様にして、同じｋに対して
→ＰＢ＋→ＰＣ＝ｋ・→ＰＣ・・・②
→ＰＣ＋→ＰＥ＝ｋ・→ＰＤ・・・③
→ＰＤ＋→ＰＡ＝ｋ・→ＰＥ・・・④
→ＰＥ＋→ＰＢ＝ｋ・→ＰＡ・・・⑤
①から⑤の両辺をすべて加えると
２（→ＰＡ＋→ＰＢ＋→ＰＣ＋→ＰＤ＋→ＰＥ）
　　＝ｋ（→ＰＡ＋→ＰＢ＋→ＰＣ＋→ＰＤ＋→ＰＥ）
→ＰＡ＋→ＰＢ＋→ＰＣ＋→ＰＤ＋→ＰＥ≠→０のとき
ｋ＝２となるが
これは　０＜ｋ＜１　に反する。
よって
→ＰＡ＋→ＰＢ＋→ＰＣ＋→ＰＤ＋→ＰＥ＝→０
でなければならない。

こんなんでいいのだろうか？

お便り２００６／９／２
from=平　昭

えーと「対称性より明らかに、答えは　→ＰＰ」と
言いたいところですが、これでは点をくれないかもしれません。

（だいたいこの問題で、求めるベクトルをＡ、Ｂ、、を使って表して
よいなら、問題の→PA＋→PB＋→PC＋→PD＋→PEがそのまま答え。
いけないなら、使える文字がＰしかなく、答えは→ＰＰ、つまり→０しかありません。
私なら問題を、→PA＋→PB＋→PC＋→PD＋→PE＝→０となることを示せ、と
します。）

そこで、こんな回答はいかがでしょう。

　正五角形の頂点ＡからＥの、Ｐを始点とした位置ベクトルを、
それぞれａ、ｂ、、、ｅとする。もちろん、ａ＝→PA、、、、ｅ＝→PEである。
　さて、Ｒ（ｘ）を、平面上の各点の位置ベクトルを、Ｐを中心として反時計回りに
72度回転した点の位置ベクトルに移す変換とする。
　頂点ＡからＥはは反時計周りに並んでいるとして一般性を失わない。
この時、Ｒ（ａ）＝ｂ、Ｒ（ｂ）＝ｃ、、Ｒ（ｅ）＝ａは明らか。
また、Ｒは回転変換だから一次変換であり、任意のベクトルｘ、ｙに対して
Ｒ（ｘ＋ｙ）＝Ｒ（ｘ）＋Ｒ（ｙ）

そこで　Ｒ（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＋ｅ）＝Ｒ（ａ）＋、、＋Ｒ（ｅ）
　　　　　　　　　　　　　　　　＝ｂ＋ｃ＋ｄ＋ｅ＋ａ
　　　　　　　　　　　　　　　　＝ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＋ｅ
だから、ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＋ｅは、Ｐの周りに72度回転したときに動かない点、
つまりＰ自身の位置ベクトルである。

これより
→PA＋→PB＋→PC＋→PD＋→PE＝→ＰＰ＝→０
が分かる。

　この証明を少し変えれば、一般に正ｎ角形の頂点の位置ベクトルを足し合わせると、
答えは中心の位置ベクトルになることが示せます。