質問<3166>2006/5/13
はじめまして。早速教えてください。 平面上に正五角形がある。その中心をPとするとき、 →PA+→PB+→PC+→PD+→PEを求めよ。 ★希望★完全解答★
お便り2006/5/20
from=wakky
ちょっと雑な解答ですがお許しを 線分PB上に、四角形APCQが平行四辺形になるような、点Qをとることができる。 このとき、→PQ=→PA+→PC 点Qは線分PB上にあるから →PQ=k・→PB(0<k<1)を満たす実数kが存在する。 したがって →PA+→PC=k・→PB・・・① 同様にして、同じkに対して →PB+→PC=k・→PC・・・② →PC+→PE=k・→PD・・・③ →PD+→PA=k・→PE・・・④ →PE+→PB=k・→PA・・・⑤ ①から⑤の両辺をすべて加えると 2(→PA+→PB+→PC+→PD+→PE) =k(→PA+→PB+→PC+→PD+→PE) →PA+→PB+→PC+→PD+→PE≠→0のとき k=2となるが これは 0<k<1 に反する。 よって →PA+→PB+→PC+→PD+→PE=→0 でなければならない。 こんなんでいいのだろうか?
お便り2006/9/2
from=平 昭
えーと「対称性より明らかに、答えは →PP」と 言いたいところですが、これでは点をくれないかもしれません。 (だいたいこの問題で、求めるベクトルをA、B、、を使って表して よいなら、問題の→PA+→PB+→PC+→PD+→PEがそのまま答え。 いけないなら、使える文字がPしかなく、答えは→PP、つまり→0しかありません。 私なら問題を、→PA+→PB+→PC+→PD+→PE=→0となることを示せ、と します。) そこで、こんな回答はいかがでしょう。 正五角形の頂点AからEの、Pを始点とした位置ベクトルを、 それぞれa、b、、、eとする。もちろん、a=→PA、、、、e=→PEである。 さて、R(x)を、平面上の各点の位置ベクトルを、Pを中心として反時計回りに 72度回転した点の位置ベクトルに移す変換とする。 頂点AからEはは反時計周りに並んでいるとして一般性を失わない。 この時、R(a)=b、R(b)=c、、R(e)=aは明らか。 また、Rは回転変換だから一次変換であり、任意のベクトルx、yに対して R(x+y)=R(x)+R(y) そこで R(a+b+c+d+e)=R(a)+、、+R(e) =b+c+d+e+a =a+b+c+d+e だから、a+b+c+d+eは、Pの周りに72度回転したときに動かない点、 つまりP自身の位置ベクトルである。 これより →PA+→PB+→PC+→PD+→PE=→PP=→0 が分かる。 この証明を少し変えれば、一般に正n角形の頂点の位置ベクトルを足し合わせると、 答えは中心の位置ベクトルになることが示せます。