質問＜３１６８＞２００６／５／１４
a_0=0 a_n=√{(a_(n-1)+1)/2}のとき、
lim[n→∞]a_1*a_2*・・・・*a_nを求めよ。
という問題がなかなかできません。
よろしくおねがいします。
★希望★完全解答★
お便り２００６／５／１６
from=ZELDA
今日、予備校でA(n+1)=sqrt{A(n)+2}の一般項を求められることを習い、解答を思いつき
ました。ところで、ハサミウチの定理を使った解法はないのでしょうか？
私は、ずいぶんハサミウチの定理を用いることを考えたのですが、
積を和に直すために「log」をつけると、きれいな式にならず、「log」をつけた後に、
評価する方法もなかなかうまくきませんでした。
(解答）
(1)
まず、帰納法により 0≦a(n)≦1・・・(*)を示す。
(Ⅰ） n=0のとき成立する。
(Ⅱ） 0以上のある n に対して (*) が成り立つと仮定すると、
sqrt(1/2)≦sqrt[{a(n)+1}/2]≦1
0≦a(n+1)≦1
(Ⅰ）,(Ⅱ）より、 (*)が成り立つ。
(2)
a(n)の一般項を求める。
(*)より、a(n)=cosX(n) (0≦X(n)≦1)とおける。
このとき、与えられた漸化式は
cosX(n+1)=sqrt[{cosX(n)+1}/2]
=sqrt[(cos{X(n)/2})^2]
=cos{X(n)/2}
0≦ X(n+1),X(n)/2 ≦1 であるから、
X(n+1)=X(n)/2, X(0)=pi/2 (pi=πとおく。）
したがって、a(n)=cos{pi/2^(n+1)}
(3)
ここで、S(n)=a(1)*a(2)*・・・*a(n-1)*a(n)とおく。
S(n)*sin{pi/2^(n+1)}=(1/2)*S(n-1)*sin(pi/2^n)
この漸化式を繰り返し用いて、
S(n)*sin{pi/2^(n+1)}={(1/2)^(n-1)}*S(1)*sin(pi/4)
=(1/2)^n
したがって、
S(n)=[{pi/2^(n+1)}/sin{pi/2^(n+1)}]*(2/pi)
ゆえに、
lim[n→∞] S(n)=2/pi
答えを見ると、偶然 2/pi となっていますが、Wallisの公式と関係があるのでしょうか？
どなたか、教えてください。ただの偶然なんでしょうか？
お便り２００６／５／１８
from=高校生
「予備校でA(n+1)=sqrt{A(n)+2}の一般項を求められることを習い」とありますが、
ここでその一般項の求め方を教えてください。
また、
＞(解答）
＞(1)
＞まず、帰納法により 0≦a(n)≦1・・・(*)を示す。
＞途中略 a(n)の一般項を求める。
＞(*)より、a(n)=cosX(n) (0≦X(n)≦1)とおける。
＞このとき、与えられた漸化式は
＞cosX(n+1)=sqrt[{cosX(n)+1}/2]
=sqrt[(cos{X(n)/2})^2]
=cos{X(n)/2}
＞0≦ X(n+1),X(n)/2 ≦1 であるから、
＞X(n+1)=X(n)/2, X(0)=pi/2 (pi=πとおく）
とありますが、cosX(n+1)=cos{X(n)/2}と
0≦ X(n+1),X(n)/2 ≦1
{多分0≦ cos{X(n+1)},cos{X(n)/2} ≦1の誤り？}
から、X(n+1)=X(n)/2とできますか？
X(n+1)=－X(n)/2の場合はどうでしょうか？
お便り２００６／５／１９
from=ZELDA
申し訳ありませんでした。自分の解答に間違いがありますので 訂正させていただきます。 訂正１ (2)の部分の２行目 (*)より、a(n)=cosX(n) (0≦X(n)≦1)とおける。 とありますが、正しくは (0≦X(n)≦pi/2) です。 訂正２ (２）の部分の７行目 0≦ X(n+1),X(n)/2 ≦1 であるから とありますが、正しくは 0≦ X(n+1),X(n)/2 ≦pi/2 です。 解答におかしな点、計算ミス等がありましたら、どうぞ、ご指摘ください。
お便り２００６／５／２０
from=ZELDA
予備校で習ったものを自分なりに少しではありますが、一般化してみました。ただし、
下の解答以外でもルートの中の定数項がなければ簡単に解けます。これは、今回は考え
ないことにします。この解法で解けるのは、下のように非常に厳しい条件がある場合の
みです。（私の推論が間違っている可能性は十分ありますが。）問題のときと同じよう
にやれば解けますので、解答は簡単に書かせていただきます。
A(n+1)=sqrt[(k/2){A(n)+k}] かつ 0 ≦A(1)≦ k
かつ k ＞ 0 のとき
(1) 数学的帰納法により 0 ≦A(n)≦ k が成り立つ。
(2) (1)より、A(n)=kcos{X(n)} (0≦X(n)≦pi/2)
とおける。
与えられた漸化式より
A(n+1)=sqrt[(k/2){kcos[X(n)]+k}]
=kcos{X(n)/2}
したがって、cos{X(n+1)}=cos{X(n)/2}
さらに、 0 ≦ X(n+1), X(n)/2 ≦ pi/2
であるから X(n+1)= X(n)/2
ここで、一つ問題になることがある。
それは、A(1)からX(1)を定めることが困難であることだ。ここでは、高校数学の範囲を
越えてしまうが「cos」の逆関数を用いて表すことにする。
X(1)=arccos{A(1)/k}
したがって、求めるA(n)の一般項は
A(n)=kcos{X(1)/2^(n-1)}
=kcos[arccos{A(1)/k}/2^(n-1)]
である。
もし、なぜこの仮定、条件のもとでしか解けないのか気になる場合は、また、お返事を
ください。お答えします。(私のわかる範囲の中でしか答えられませんが）
お便り２００６／５／２０
from=ZELDA
X(n+1)=X(n)/2とできますか？ X(n+1)=－X(n)/2の場合はどうでしょうか？ という質問ですが、 0≦ X(n+1), X(n)/2 ≦pi/2 という条件から X(n+1)=－X(n)/2 となることは、ありません。