質問<3168>2006/5/14
a_0=0 a_n=√{(a_(n-1)+1)/2}のとき、 lim[n→∞]a_1*a_2*・・・・*a_nを求めよ。 という問題がなかなかできません。 よろしくおねがいします。 ★希望★完全解答★
お便り2006/5/16
from=ZELDA
今日、予備校でA(n+1)=sqrt{A(n)+2}の一般項を求められることを習い、解答を思いつき ました。ところで、ハサミウチの定理を使った解法はないのでしょうか? 私は、ずいぶんハサミウチの定理を用いることを考えたのですが、 積を和に直すために「log」をつけると、きれいな式にならず、「log」をつけた後に、 評価する方法もなかなかうまくきませんでした。 (解答) (1) まず、帰納法により 0≦a(n)≦1・・・(*)を示す。 (Ⅰ) n=0のとき成立する。 (Ⅱ) 0以上のある n に対して (*) が成り立つと仮定すると、 sqrt(1/2)≦sqrt[{a(n)+1}/2]≦1 0≦a(n+1)≦1 (Ⅰ),(Ⅱ)より、 (*)が成り立つ。 (2) a(n)の一般項を求める。 (*)より、a(n)=cosX(n) (0≦X(n)≦1)とおける。 このとき、与えられた漸化式は cosX(n+1)=sqrt[{cosX(n)+1}/2] =sqrt[(cos{X(n)/2})^2] =cos{X(n)/2} 0≦ X(n+1),X(n)/2 ≦1 であるから、 X(n+1)=X(n)/2, X(0)=pi/2 (pi=πとおく。) したがって、a(n)=cos{pi/2^(n+1)} (3) ここで、S(n)=a(1)*a(2)*・・・*a(n-1)*a(n)とおく。 S(n)*sin{pi/2^(n+1)}=(1/2)*S(n-1)*sin(pi/2^n) この漸化式を繰り返し用いて、 S(n)*sin{pi/2^(n+1)}={(1/2)^(n-1)}*S(1)*sin(pi/4) =(1/2)^n したがって、 S(n)=[{pi/2^(n+1)}/sin{pi/2^(n+1)}]*(2/pi) ゆえに、 lim[n→∞] S(n)=2/pi 答えを見ると、偶然 2/pi となっていますが、Wallisの公式と関係があるのでしょうか? どなたか、教えてください。ただの偶然なんでしょうか?
お便り2006/5/18
from=高校生
「予備校でA(n+1)=sqrt{A(n)+2}の一般項を求められることを習い」とありますが、 ここでその一般項の求め方を教えてください。 また、 >(解答) >(1) >まず、帰納法により 0≦a(n)≦1・・・(*)を示す。 >途中略 a(n)の一般項を求める。 >(*)より、a(n)=cosX(n) (0≦X(n)≦1)とおける。 >このとき、与えられた漸化式は >cosX(n+1)=sqrt[{cosX(n)+1}/2] =sqrt[(cos{X(n)/2})^2] =cos{X(n)/2} >0≦ X(n+1),X(n)/2 ≦1 であるから、 >X(n+1)=X(n)/2, X(0)=pi/2 (pi=πとおく) とありますが、cosX(n+1)=cos{X(n)/2}と 0≦ X(n+1),X(n)/2 ≦1 {多分0≦ cos{X(n+1)},cos{X(n)/2} ≦1の誤り?} から、X(n+1)=X(n)/2とできますか? X(n+1)=-X(n)/2の場合はどうでしょうか?
お便り2006/5/19
from=ZELDA
申し訳ありませんでした。自分の解答に間違いがありますので 訂正させていただきます。 訂正1 (2)の部分の2行目 (*)より、a(n)=cosX(n) (0≦X(n)≦1)とおける。 とありますが、正しくは (0≦X(n)≦pi/2) です。 訂正2 (2)の部分の7行目 0≦ X(n+1),X(n)/2 ≦1 であるから とありますが、正しくは 0≦ X(n+1),X(n)/2 ≦pi/2 です。 解答におかしな点、計算ミス等がありましたら、どうぞ、ご指摘ください。
お便り2006/5/20
from=ZELDA
予備校で習ったものを自分なりに少しではありますが、一般化してみました。ただし、 下の解答以外でもルートの中の定数項がなければ簡単に解けます。これは、今回は考え ないことにします。この解法で解けるのは、下のように非常に厳しい条件がある場合の みです。(私の推論が間違っている可能性は十分ありますが。)問題のときと同じよう にやれば解けますので、解答は簡単に書かせていただきます。 A(n+1)=sqrt[(k/2){A(n)+k}] かつ 0 ≦A(1)≦ k かつ k > 0 のとき (1) 数学的帰納法により 0 ≦A(n)≦ k が成り立つ。 (2) (1)より、A(n)=kcos{X(n)} (0≦X(n)≦pi/2) とおける。 与えられた漸化式より A(n+1)=sqrt[(k/2){kcos[X(n)]+k}] =kcos{X(n)/2} したがって、cos{X(n+1)}=cos{X(n)/2} さらに、 0 ≦ X(n+1), X(n)/2 ≦ pi/2 であるから X(n+1)= X(n)/2 ここで、一つ問題になることがある。 それは、A(1)からX(1)を定めることが困難であることだ。ここでは、高校数学の範囲を 越えてしまうが「cos」の逆関数を用いて表すことにする。 X(1)=arccos{A(1)/k} したがって、求めるA(n)の一般項は A(n)=kcos{X(1)/2^(n-1)} =kcos[arccos{A(1)/k}/2^(n-1)] である。 もし、なぜこの仮定、条件のもとでしか解けないのか気になる場合は、また、お返事を ください。お答えします。(私のわかる範囲の中でしか答えられませんが)
お便り2006/5/20
from=ZELDA
X(n+1)=X(n)/2とできますか? X(n+1)=-X(n)/2の場合はどうでしょうか? という質問ですが、 0≦ X(n+1), X(n)/2 ≦pi/2 という条件から X(n+1)=-X(n)/2 となることは、ありません。