質問＜３２４４＞2006/6/12
from=めぐ
「２次方程式の解の存在範囲」

＜問題＞
nを自然数とする。ｘの２次方程式５ｘ＾２－３nｘ－７ｎ＝０が０＜ｘ＜ｎの範囲に
重解でない解をただ１つをもつような、最小のnを求めよ。

答えがｆ(x)＝５ｘ＾２－３nｘ－７ｎとおくと、条件から　ｆ(０)ｆ(ｎ)≦０である
ことが必要　と書いてあるんですが、どうしてイコールが必要なんでしょうか。
教えてください！
よろしくお願いします！

★ヒント希望★

お便り２００６／６／１７
from=ZELDA

この問題で、必要十分条件は
f(n)＞0 (なぜならば、f(0)＜0が確定しているから。)
である。

ｆ(０)ｆ(ｎ)≦０である
ことが必要　と書いてあるんですが、どうしてイコールが必要なんでしょうか。


という質問ですが、0＜ x ＜ n　の範囲に少なくとも一つの解がある条件は　
f(0)f(n)＜0 です。
しかし、この問題で
 f(0)=0　かつ　0＜ x ＜ nの範囲にもう一つの解がある。
という場合が存在する可能性があるために
「=」が入っているのです。
ただし、ちょっと考察すれば、分かりますが、明らかに
f(0)＜0 ですね。

お便り２００６／６／１７
from=wakky

二次方程式の解は、重解でないのなら
異なる2つの解を持ちます。（複素数の場合もあり）
この場合、判別式は
９ｎ^2＋１４０ｎ＞０（∵ｎは自然数）
なので
異なる2つの実数解を持ちます。
この問題では
「重解でない解がただ１つ」
０＜ｘ＜ｎにあるので
もう一方の解は、この範囲外にあることになります。
すなわち、ｘ＝０やｘ＝ｎがもう一方の解であるかも知れないわけです。
その場合
ｆ（０）ｆ（ｎ）＝０
ｘ＝０，ｘ＝ｎがいずれも解でないときは
ｆ（０）ｆ（ｎ）＜０
以上から、ｆ（０）ｆ（ｎ）≦０
ということだと思います。