質問<3400>2006/9/19
次の質問をよろしくお願いします。 fn(x,y)=x^n+y^n (n=1,2,3,・・・) は、u=x+y v=xy の多項式の形で表されることを証明せよ。 以上です。早めに解答頂けたら幸いです。 ★完全解答希望★
お便り2006/9/24
from=下野哲史
f_(n)(x,y)=x^n+y^n (n=1,2,3,・・・) は、u=x+y v=xy の多項式の形で表されることを証明せよ。 (x^n+y^n)(x+y)-xy(x^(n-1)+y^(n-1)) =x^(n+1)+y^(n+1) であるから f_(n+1) (x,y)=uf_(n)(x,y)+vf_(n-1)(x,y) …① が成り立つ。 ここで f_(1)(x,y)=u f_(2)(x,y)=x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=u^2-2v であるから、①より f_(3)(x,y)=uf_(2)(x,y)+vf_(1)(x,y) =u(u^2-2v)+vu=u^3-uv f_(4)(x,y)=uf_(3)(x,y)+vf_(2)(x,y) =u(u^3-uv)+v(u^2-2v) =… というようにf_(n)(x,y)は u,vの多項式で表されることが分かる。 あとはこれを帰納法か何かで示せばよいでしょう。
お便り2006/9/24
from=wakky
数学的帰納法で証明します。 ただ、ノーマルタイプではできません。 数学的帰納法の方法は (1)①P(1)が真 ②P(k)が真だと仮定したときP(k+1)が真 ①②よりすべてのnでP(n)は真 これがノーマルタイプですね。 (2)①P(1),P(2),・・・,P(r)が真 ②P(k),P(k+1),・・・,P(k-1+r)が真だと仮定し たとき、P(k+r)が真 ①②よりすべてのnでP(n)は真 これを「並列型」とでも呼びましょう (3)①P(1)が真 ②P(1),P(2),・・・,P(k)が真だと仮定したとき P(k+1)が真 ①②よりよりすべてのnでP(n)は真 これを「累積型」とでも呼びましょう この問題では、(2)「並列型」で、r=2として証明します。 (解答) ① n=1のとき f_1(x,y)=x+y よりuの多項式で表される。 n=2のとき f_2(x,y)=x^2+y^2=(x+y)^2-2xy より、u,vの多項式で表される。 ② n=k,k+1のときf_n(x,y)がu,vの多項式で表されると仮定する。 n=k+2のとき f_n(x,y)=x^(k+2)+y^(k+2) ={x^(k+1)+y^(k+1)}(x+y)-x^(k+1)y-xy^(k+1) ={x^(k+1)+y^(k+1)}(x+y)-xy(x^k+y^k) =f_k+1(x,y)・(x+y)-xy・f_k(x,y) ①②よりすべての正の整数nについて f_(x,y)はu,vの多項式で表される。