質問＜３４９１＞２００６／１２／２４
from=GLKA
「(tanx)^n の定積分→漸化式の質問」

In＝∫[0→4/π](tanx)^n dx　をnで表せ。ただし，答えに∑
を用いてもよい。
という問題なのですが，In＋In+2＝1/n+1は導いたのですが，
この漸化式が解けません。どうやって解くのでしょうか？

★希望★完全解答★

お便り２００６／１２／２６
from=kyukusu

In=∫[0→π/4]tan^n-2 x(sec^2x -1)dx=∫[0→1]t^n-2 dt-In=1/n-1 In-2
これよりｎが偶数なら
In=1/n-1 -1/n-3 +……+(-1)^n/2-1 *1/1 +(-1)^π/2 I0
ｎが奇数なら
In=1/n-1 -1/n-3 +……+(-1)^(n+1)/2 *1/2 +(-1)^π+3/2 I1
ただしI0= π/4  I1=1/2 log2