質問＜３７３７＞２００９／２／２６
from=まさ
「導関数の考え方」

√1+sinxの導関数についてなんですが。
解き方を私は次の用に考えました。
1+sinx＝uと置く
ｙ’＝二乗根√1+sinx＝二乗根√u
＝u＾1/2と変形して　合成微分で
1/2u^-1/2と　u=（1+sinx）’で1+sinxを微分してcosxとしてu'＝cosx
1/2u^-1/2＝1/2 1/√uにcosxを入れたら答えが求まるでしょうか。
自力でここまで考えました。解答を知るより、解き方があっているか知りたいので（考え方）この方法で大丈夫か教えてください。

★希望★完全解答★

お返事２００９／２／２７
from=武田

ｙ＝√（１＋sinｘ）の導関数を求める問題なので、微分ですね。
すんなり解けないときは、合成関数の考え方を利用します。
（　）の中身をｕと置くと、
ｙ＝√ｕ
ｕ＝１＋sinｘ
の２つの関数の合成という風に考えられます。

そこで、ｙ´（ニュートン風の表示）を

ｄｙ
――　（ライプニッツ風の表示）にして考えます。
ｄｘ

つまり、微分記号の分数化を利用して、

ｄｙ　　ｄｙ　ｄｕ
――　＝――・――
ｄｘ　　ｄｕ　ｄｘ

のように２つの微分の積・として計算します。（証明は数学Ⅲを参照）

ｄｙ
――　＝｛ｕ^(1/2)｝´＝(1/2)ｕ^(-1/2)
ｄｕ
　　　　　１
　　　＝―――
　　　　２√ｕ

ｄｕ
――　＝（１＋sinｘ）´＝cosｘ
ｄｘ

したがって、導関数は

ｄｙ　　　　１
――　＝――――　・cosｘ
ｄｘ　　２√ｕ

　　　　　　　cosｘ
　　　＝―――――――――　………(答え)
　　　　２√（１＋sinｘ）

※記号や書き方を正確に覚えて解答を作らないと、思わぬミスをしてしまいます。