質問<3851>2013/4/4
z^2+2z+1-2i=0を複素数の範囲で解くのはどのようにするのでしょうか。 z=-1±√(2i)から先の演算はどうやったらよいですか。 行きあたりばったりに (1-i)^2=-2iより(z+1)^2+(1-i)^2=0 (z+1)^2=(i(1-i))^2より z+1=±i(1-i) ∴z=i,-i-2 と解いてみましたが、解の公式を使ってとくことはできないのでしょうか。 iの根号のはずし方、別の一般的な解き方等ご指導いただければ幸いです。 ★希望★完全解答★
お便り2013/4/9
from=wakky
複素数の演算で解の公式を使ったことはありません。 A,B,C,Dを実数として A+Bi=C+Di⇔A=CかつB=D A+Bi=0⇔A=B=0 であることを利用するのが一般的でしょう。 【解答】 z^2+2z+1-2i=0より (z+1)^2=2i a,bを実数として z+1=a+biとおく (a+bi)^2=2i a^2-b^2+2abi=2i a^2-b^2=0かつab=1 b=1/a a^2-(1/a)^2=0 a^4-1=0 (a^2+1)(a^2-1)=0 a^2+1>0より a^2-1=0 ∴a=±1 よって (a,b)=(±1,±1) (複号同順) z+1=1+i,-1-i z=i,-2-i・・・(答)
お便り2013/4/10
from=m.m.
だめかと(誰も教えてもらえないかも)と思っていたので とてもうれしいです。 しかもとてもわかりやすい解法を教えていただきました。 wakky先生有難うございました。 感謝いたしております。
お便り2013/4/15
from=豆
例えば、 http://next1.msi.sk.shibaura-it.ac.jp/MULTIMEDIA/complex/node31.html#enshu:6-1-1 複素関数論では、√z を2乗するとzになる数 ということで、実数の√ 表記とは少し異なる表現 をするようです。 ドモアブルの定理などより、 z=re^(iθ)=re^(i(θ+2nπ)) r:絶対値 θ:偏角 とすれば √z=√re^(i(θ+2nπ)/2) となります。 従って、 √(2i)=√2e^(i(π/2+2nπ)/2) =√2e^(iπ/4)、√2e^(5iπ/4) =1+i 、-(1+i) となります。 やっていることは、上の解法と同じです。
お便り2013/5/3
from=m.m.
豆先生√2iの解き方を有難うございました。 今日読ませて頂いたのでお礼が遅くなってすみません。 大変助かりました。感謝いたしております。