質問＜３８５７＞２０１３／８／８
from=うさぎさん
「空間図形」

AB=5,BC=7,CA=8,OA=OB=OC=tを満たす四面体OABCがある。
4つの頂点OABCが同一球面上にあるとき、その球の半径が最小になるような
実数tの値を求めよ。
途中まで頑張ったのですが、挫折してしまいました。
どうぞよろしくお願いします。

★希望★完全解答★

お便り２０１３／８／１０
from=tamori

OABCが球に内接し、OA=OB=OCなので球の中心は三角形ABCの外心を通る三角形ABCに
垂直な直線上にあります。
ここで球の半径が最小なので球の中心は三角形ABCの外心と一致します。そこで
半径Rは中心（この場合は三角形ABCの外心でもある）をQとすると
R=QA=QB=QCなので正弦定理より2R=a/sinA、
余弦定理。cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bcよりcosA=(5^2+8~2-7^2)/(2*5*8)=1/2,
ゆえにsinA=√3/2。
正弦定理に代入して2R=7/(√3/2),
ゆえにR=7/√3。（B,Cでやっても同様）
よって
tは二辺が7/√3の直角二等辺三角形の斜辺なので
t=(7/√3)*√2=7√6/3・・・で良いと思います。