質問＜３８５８＞２０１３／８／１８
from=jomo
「方程式」

a_1,a_2,・・・・,a_nを整数とし、
f（x）=x^n+a_1x^（n－1）+a_2x^（n－2）+……+a_nとする。
（1）有理数αが方程式f（x）=0の一つの解ならば、αは整数であることを証明せよ
（2）f（0）,f（1）が奇数ならば方程式f（x）=0は有理数の解しか持たない事を証明せよ
って問題ですお願いします

★希望★完全解答★

お便り２０１３／８／１９
from=phaos

(1) α が有理数なので, 整数 b, c (b > 0) が存在して, 既約分数で α = c/b と書ける。
b^n f(α) = c^n + a_1 b c^(n - 1) + a_2 b^2 c^(n - 2) + … + a_n b^n = 0. 
従って c^n = -b(a_1 c^(n - 1) + a_2 b c^(n - 2) + … + a_n b^(n - 1)). 
だから b|c だが, α = c/b は既約だったから (b > 0 より) b = 1 でなければならない。

(2) には反例がある。
f(x) = x^2 + 3x + 1 は題意を満たす。
しかし, 明らかに f(x) = 0 の解は x = (-3 ± √5)/2 は有理数ではない。
有理数解を少なくとも一つは持つっていうのが前提?