質問＜３９６＞２００１／１／２２
from=資格試験受験生
「√の計算」

武田先生、お忙しいところ失礼します。
資格試験で経済学を選択しているのですが、数学に関連するところで分
からない点がありまして、初歩的な質問で恐縮ですが、以下の点につい
て教えて頂けますと幸いです。

xについて解く問題があるのですが、この計算過程で、
ｘ＝{16±√(120Ｐ－1004)}／６
　＝{16±２√(30Ｐ－251)}／６
　＝{８±√(30Ｐ－251)}／３
とする部分があるのですが、これについて教えていただけますでしょうか。

確かに120Ｐを因数分解すると２√30Ｐになりますし、
1004を因数分解すると２√251になるのは分かるのですが、
√の計算でこのようなことをしていいのは、なぜなのでしょうか。
√でなくカッコなら、120Ｐ－1004を、４(30Ｐ－251)と出来るのは分かる
のですが、√でやられると、どうも「こんなことしていいの？」という気
がしてしまいます。

また、√(120Ｐ－1004)＝2√(30Ｐ－251)と変形できるのならば、
√(120Ｐ－1004)＝2√30Ｐ－2√251とも変形できるのでしょうか？

お返事２００１／１／２３
from=武田

無理数、特に平方根（√）の定義は、
「２回掛けると正の数ａとなるものを√ａと表し、平方根という。」
より、
√ａ×√ａ＝ａ

この定義より、次の性質が成り立つ。
　　　　＿　　＿　　＿＿＿
（１）√ａ×√ｂ＝√ａ×ｂ
　　　　＿　　＿　　＿＿＿
（２）√ａ＋√ｂ≠√ａ＋ｂ
ただし、ａ＞０，ｂ＞０とする。

証明は、両辺を２乗すると、わかる。
（１）の証明
ａ＞０，ｂ＞０より、両辺とも正の数となる。
　　　２　　　＿　　＿　２　　　＿　　＿　　　　＿　　＿
（左辺）＝（√ａ×√ｂ　）＝（√ａ×√ｂ）×（√ａ×√ｂ）
　　　　　　　＿　　＿　　　　＿　　＿
　　　　＝（√ａ×√ａ）×（√ｂ×√ｂ）＝ａ×ｂ
　　　２　　　＿＿＿　２　　　＿＿＿　　　　＿＿＿
（右辺）＝（√ａ×ｂ　）＝（√ａ×ｂ）×（√ａ×ｂ）
　　　　＝ａ×ｂ
したがって、
　　　２　　　　２
（左辺）＝（右辺）より、∴左辺＝右辺

（２）の証明
ａ＞０，ｂ＞０より、両辺とも正の数となる。
　　　２　　　＿　　＿　２
（左辺）＝（√ａ＋√ｂ　）
　　　　　　　＿　　＿　　　　　＿　　＿　　　　＿　　＿
　　　　＝（√ａ×√ａ）＋２（√ａ×√ｂ）＋（√ｂ×√ｂ）
　　　　　　　　　　＿　　＿
　　　　＝ａ＋２（√ａ×√ｂ）＋ｂ
　　　２　　　＿＿＿　２　　　＿＿＿　　　　＿＿＿
（右辺）＝（√ａ＋ｂ　）＝（√ａ＋ｂ）×（√ａ＋ｂ）
　　　　＝ａ＋ｂ
したがって、
　　　２　　　　２
（左辺）≠（右辺）より、∴左辺≠右辺
　　　　＿＿＿＿＿＿
質問の√120Ｐ－1004　の変形については、
　＿＿＿＿＿＿　　＿＿＿＿＿＿＿　　＿　　＿＿＿＿＿
√120Ｐ－1004　＝√４(30Ｐ－251)＝√４×√30Ｐ－251
　　　　　　　　^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
　　　　　　　　　　　↑性質（１）より
　　　　　　　　　　＿＿＿＿＿
　　　　　　　＝２√30Ｐ－251
計算過程のような計算は可能なわけです。

次のような分割は出来ない。
　＿＿＿＿＿＿　　＿＿＿　　＿＿　　　＿＿　　　＿＿
√120Ｐ－1004　≠√120Ｐ－√1004＝２√30Ｐ－２√251
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
　　　↑性質（２）より
質問のような変形は、不可能です。