質問<396>2001/1/22
武田先生、お忙しいところ失礼します。 資格試験で経済学を選択しているのですが、数学に関連するところで分 からない点がありまして、初歩的な質問で恐縮ですが、以下の点につい て教えて頂けますと幸いです。 xについて解く問題があるのですが、この計算過程で、 x={16±√(120P-1004)}/6 ={16±2√(30P-251)}/6 ={8±√(30P-251)}/3 とする部分があるのですが、これについて教えていただけますでしょうか。 確かに120Pを因数分解すると2√30Pになりますし、 1004を因数分解すると2√251になるのは分かるのですが、 √の計算でこのようなことをしていいのは、なぜなのでしょうか。 √でなくカッコなら、120P-1004を、4(30P-251)と出来るのは分かる のですが、√でやられると、どうも「こんなことしていいの?」という気 がしてしまいます。 また、√(120P-1004)=2√(30P-251)と変形できるのならば、 √(120P-1004)=2√30P-2√251とも変形できるのでしょうか?
お返事2001/1/23
from=武田
無理数、特に平方根(√)の定義は、 「2回掛けると正の数aとなるものを√aと表し、平方根という。」 より、 √a×√a=a この定義より、次の性質が成り立つ。 _ _ ___ (1)√a×√b=√a×b _ _ ___ (2)√a+√b≠√a+b ただし、a>0,b>0とする。 証明は、両辺を2乗すると、わかる。 (1)の証明 a>0,b>0より、両辺とも正の数となる。 2 _ _ 2 _ _ _ _ (左辺)=(√a×√b )=(√a×√b)×(√a×√b) _ _ _ _ =(√a×√a)×(√b×√b)=a×b 2 ___ 2 ___ ___ (右辺)=(√a×b )=(√a×b)×(√a×b) =a×b したがって、 2 2 (左辺)=(右辺)より、∴左辺=右辺 (2)の証明 a>0,b>0より、両辺とも正の数となる。 2 _ _ 2 (左辺)=(√a+√b ) _ _ _ _ _ _ =(√a×√a)+2(√a×√b)+(√b×√b) _ _ =a+2(√a×√b)+b 2 ___ 2 ___ ___ (右辺)=(√a+b )=(√a+b)×(√a+b) =a+b したがって、 2 2 (左辺)≠(右辺)より、∴左辺≠右辺 ______ 質問の√120P-1004 の変形については、 ______ _______ _ _____ √120P-1004 =√4(30P-251)=√4×√30P-251 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ ↑性質(1)より _____ =2√30P-251 計算過程のような計算は可能なわけです。 次のような分割は出来ない。 ______ ___ __ __ __ √120P-1004 ≠√120P-√1004=2√30P-2√251 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ ↑性質(2)より 質問のような変形は、不可能です。