質問<589>2001/8/1
学校の先生にも聞いたのですが、 なんか、説明が、わかったような わからないようなで、あやふやになって、よけい わからなくなってしまいました。 (問題) x[2乗]+1 で割ると 3x+2 余り、 x[2乗]+x+1 で割ると 2x+3 余るような xの整式のうちで、次数が最小のものを求めよ。 (解答) 整式をP(x)とし、4次式(x[2乗]+1)(x[2乗]+x+1)で割ったときの商をQ(x), 余りをR(x)とすると P(x)=(x[2乗]+1)(x[2乗]+x+1)Q(x)+R(x) R(x)は3次以下または0 P(x)を x[2乗]+1, x[2乗]+x+1 で割ったときの余りは それぞれR(x)を x[2乗]+1, x[2乗]+x+1 で割ったとき の余りに等しいから、求める次数が最小の整式は このR(x)である。 R(x)を x[2乗]+1 で割った時の商は1次式以下の式で R(x)=(X[2乗]+1)(ax+b)+3x+2 R(x)=(x[2乗]+X+1)(ax+c)+2x+3 と書ける よって (X[2乗]+1)(ax+b)+3x+2=(x[2乗]+X+1)(ax+c)+2x+3・・・(a) これはxについての恒等式である。 両辺を展開して、整理すると ax[3乗]+bx[2乗]+(a+3)x+b+2=ax[3乗]+(a+c)x[2乗]+(a+c+2)x+c+3 係数を比べて b=a+c, a+3=a+c+2, b+2=c+3 これを解くと a=1, b=2, c=1 ゆえに R(x)=(x[2乗]+1)(x+2)+3x+2=x[3乗]+2x[2乗]+4x+4 となる。 (青チャートP49の例題27から抜粋) と解答には、書いてあるのですが、なぜ、R(x)の次数が 最小になるのか解りません。 教えていただければ、幸いなので、よろしくお願いします。
お返事2001/8/10
from=武田
P(x)=(x[2乗]+1)(x[2乗]+x+1)Q(x)+R(x) 割る式が4次式だから、R(x)は3次式以下となる。 R(x)を x[2乗]+1 で割った時の商は1次式以下となり、 R(x)=(X[2乗]+1)(ax+b)+3x+2 同様に R(x)=(x[2乗]+X+1)(ax+c)+2x+3 この2式を解いて、a,b,cを求めると、a≠0より、 R(x)は3次式となるから、3次式以下のうち最小となるのは、 3次式である。
お便り2001/8/10
from=kaerunoe
質問<589>に書いた、解答の意味は、解っていたのですが P(x)を x[2乗]+1, x[2乗]+x+1 で割ったときの余りは それぞれR(x)を x[2乗]+1, x[2乗]+x+1 で割ったとき の余りに等しいから、求める次数が最小の整式は このR(x)である。 と言う部分において、なぜP(x)をx[2乗]+1, x[2乗]+x+1 で割ったときの余り はR(x)を x[2乗]+1, x[2乗]+x+1 で割ったどきの余りに等しいと言うことから R(x)が次数が最小の整数であるということが、導きだされるのでしょうか。 たびたびすみませんが、よろしくお願いします。
お返事2001/8/11
from=武田
質問の意図がわかりました。 R(x)が3次式だから、(x2 +1)で割ると商が1次式 で(ax+b)、余りが1次式以下で(3x+2)となります。 したがって、 P(x)=(x[2乗]+1)(x[2乗]+x+1)Q(x)+R(x) =(x[2乗]+1)(x[2乗]+x+1)Q(x)+{(X[2乗]+1)(ax+b)+3x+2} =(x[2乗]+1){(x[2乗]+x+1)Q(x)+(ax+b)}+3x+2 P(x)の中で、(x2 +1)で割って、余りが(3x+2) となるものは多数ありますが、最小のものは、Q(x)が0のときです。 したがって、3次式つまりR(x)が最小となります。