質問＜５８９＞２００１／８／１
from=kaerunoe
「因数定理の問題」

学校の先生にも聞いたのですが、
なんか、説明が、わかったような
わからないようなで、あやふやになって、よけい
わからなくなってしまいました。

(問題)
x[2乗]+1 で割ると 3x+2 余り、
x[2乗]+x+1 で割ると 2x+3 余るような
xの整式のうちで、次数が最小のものを求めよ。

(解答)
整式をP(x)とし、4次式(x[2乗]+1)(x[2乗]+x+1)で割ったときの商をQ(x),
余りをR(x)とすると
P(x)=(x[2乗]+1)(x[2乗]+x+1)Q(x)+R(x)
R(x)は3次以下または0
P(x)を　x[2乗]+1, x[2乗]+x+1　で割ったときの余りは
それぞれR(x)を　x[2乗]+1, x[2乗]+x+1　で割ったとき
の余りに等しいから、求める次数が最小の整式は
このR(x)である。
R(x)を　x[2乗]+1 で割った時の商は1次式以下の式で
R(x)=(X[2乗]+1)(ax+b)+3x+2
R(x)=(x[2乗]+X+1)(ax+c)+2x+3
と書ける
よって　(X[2乗]+1)(ax+b)+3x+2=(x[2乗]+X+1)(ax+c)+2x+3・・・(a)
これはxについての恒等式である。
両辺を展開して、整理すると
ax[3乗]+bx[2乗]+(a+3)x+b+2=ax[3乗]+(a+c)x[2乗]+(a+c+2)x+c+3
係数を比べて　b=a+c, a+3=a+c+2, b+2=c+3
これを解くと　a=1, b=2, c=1
ゆえに R(x)=(x[2乗]+1)(x+2)+3x+2=x[3乗]+2x[2乗]+4x+4
となる。
(青チャートP49の例題27から抜粋）

と解答には、書いてあるのですが、なぜ、R(x)の次数が
最小になるのか解りません。
教えていただければ、幸いなので、よろしくお願いします。

お返事２００１／８／１０
from=武田

P(x)=(x[2乗]+1)(x[2乗]+x+1)Q(x)+R(x)
割る式が４次式だから、R(x)は３次式以下となる。

R(x)を　x[2乗]+1 で割った時の商は1次式以下となり、
R(x)=(X[2乗]+1)(ax+b)+3x+2
同様に
R(x)=(x[2乗]+X+1)(ax+c)+2x+3

この２式を解いて、ａ，ｂ，ｃを求めると、ａ≠０より、
Ｒ（ｘ）は３次式となるから、３次式以下のうち最小となるのは、
３次式である。

お便り２００１／８／１０
from=kaerunoe

質問＜589＞に書いた、解答の意味は、解っていたのですが

P(x)を　x[2乗]+1, x[2乗]+x+1　で割ったときの余りは
それぞれR(x)を　x[2乗]+1, x[2乗]+x+1　で割ったとき
の余りに等しいから、求める次数が最小の整式は
このR(x)である。

と言う部分において、なぜP(x)をx[2乗]+1, x[2乗]+x+1　で割ったときの余り
はR(x)を　x[2乗]+1, x[2乗]+x+1　で割ったどきの余りに等しいと言うことから
R(x)が次数が最小の整数であるということが、導きだされるのでしょうか。

たびたびすみませんが、よろしくお願いします。

お返事２００１／８／１１
from=武田

質問の意図がわかりました。
Ｒ（ｘ）が３次式だから、（ｘ2 ＋１）で割ると商が１次式
で（ａｘ＋ｂ）、余りが１次式以下で（３ｘ＋２）となります。
したがって、
P(x)=(x[2乗]+1)(x[2乗]+x+1)Q(x)+R(x)
　　＝(x[2乗]+1)(x[2乗]+x+1)Q(x)＋｛(X[2乗]+1)(ax+b)+3x+2｝
　　＝(x[2乗]+1)｛(x[2乗]+x+1)Q(x)＋(ax+b)｝+3x+2
Ｐ（ｘ）の中で、（ｘ2 ＋１）で割って、余りが（３ｘ＋２）
となるものは多数ありますが、最小のものは、Ｑ（ｘ）が０のときです。
したがって、３次式つまりＲ（ｘ）が最小となります。