質問＜６９９＞２００１／１１／１９
from=資格受験生
「凹関数」

武田先生、お忙しいところ失礼します。
経済学で出てきた凹関数というものについてなのですが、
まず、横軸にx、縦軸にf(x)をとります。
次に、ある２つのx'、x''があって、
それがx'＜x''のときに、
f(0.5x'＋0.5x'')　＞　0.5f(x')＋0.5f(x'')
となるような関数f(x)は、
凹関数というf(x)＝√xのような形状の曲線になるそうなのですが、
これは数学的にはどうして凹関数というものになると分かる
のでしょうか？
数学とは関係ないものから導出されているのでしょうか？

お返事２００１／１１／２１
from=武田

x1＜x2のとき、
　　x1＋x2　　ｆ（x1）＋ｆ（x2）
ｆ（―――）＞―――――――――
　　　２　　　　　　　２
ならば、上に凸の関数となる。凸関数は凹関数でもある。

なお、ｙ＝√ｘ（無理関数）は、次の理由で上に凸関数となる。
　　x1＋x2　　√x1＋√x2
√（―――）＞―――――を証明してみると、
　　　２　　　　　２

　　　　　　　　　　x1＋x2　　　　√x1＋√x2
左辺2－右辺2＝｛√（―――）｝2－（―――――）2
　　　　　　　　　　　２　　　　　　　２

　　　　　　　　x1＋x2　　　x1＋２√(x1x2)＋x2
　　　　　　　＝―――　－　―――――――――
　　　　　　　　　２　　　　　　　　４

　　　　　　　　２x1＋２x2－x1－２√(x1x2)－x2
　　　　　　　＝―――――――――――――――
　　　　　　　　　　　　　　　４

　　　　　　　　x1－２√(x1x2)＋x2
　　　　　　　＝―――――――――
　　　　　　　　　　　　４

　　　　　　　　（√x1－√x2）2
　　　　　　　＝――――――――＞０
　　　　　　　　　　　４

左辺2＞右辺2
∴左辺＞右辺