質問<699>2001/11/19
武田先生、お忙しいところ失礼します。 経済学で出てきた凹関数というものについてなのですが、 まず、横軸にx、縦軸にf(x)をとります。 次に、ある2つのx'、x''があって、 それがx'<x''のときに、 f(0.5x'+0.5x'') > 0.5f(x')+0.5f(x'') となるような関数f(x)は、 凹関数というf(x)=√xのような形状の曲線になるそうなのですが、 これは数学的にはどうして凹関数というものになると分かる のでしょうか? 数学とは関係ないものから導出されているのでしょうか?
お返事2001/11/21
from=武田
x1<x2のとき、 x1+x2 f(x1)+f(x2) f(―――)>――――――――― 2 2 ならば、上に凸の関数となる。凸関数は凹関数でもある。 なお、y=√x(無理関数)は、次の理由で上に凸関数となる。 x1+x2 √x1+√x2 √(―――)>―――――を証明してみると、 2 2 x1+x2 √x1+√x2 左辺2-右辺2={√(―――)}2-(―――――)2 2 2 x1+x2 x1+2√(x1x2)+x2 =――― - ――――――――― 2 4 2x1+2x2-x1-2√(x1x2)-x2 =――――――――――――――― 4 x1-2√(x1x2)+x2 =――――――――― 4 (√x1-√x2)2 =――――――――>0 4 左辺2>右辺2 ∴左辺>右辺