質問<736>2001/12/21
from=ガチャ
「正比例関数」
わからない問題があるので教えてください。m(_ _)m <問題1> 正比例関数fは一般に a=f(1)とおいてf(x)=ax と表せることを次の手順 で示せ。 (1)任意の自然数nに対して f(n)=an が成り立つ。 (2)任意の有理数 n/m に対して f(n/m)=a・(n/m)が成 り立つ。 (3)任意の実数xに対して f(x)=ax となる。(これを 示すときfが連続である という仮定をつかう。) <問題2> 関数f:R→R が和とスカラー倍を保存すれば、fは連続であり、fは正比 例関数であることを示せ。 よろしくおねがいします。
お返事2001/12/27
from=武田
問1 正比例関数fの定義は、「(yの変化量)/(xの変化量)=一定」である。
(一定)より、f(1)=a
①任意の自然数nに対して、
f(n)=an
②任意の有理数に対して、
③任意の実数xに対して、
x≠0のとき、f(x)=ax
f(x)が連続関数より、
x=0のとき、
任意の実数xに対して、f(x)=ax
問2
和とスカラー倍が成り立つとき、
f(ax+by)=af(x)+bf(y)
y=0とおくと、
f(ax+b・0)=af(x)+bf(0)
fは連続だから、f(0)=0
f(ax)=af(x)
だから、
(一定)
したがって、f(x)=cxという正比例関数となる。