質問

わからない問題があるので教えてください。m(_ _)m

＜問題1＞
正比例関数ｆは一般に a=f(1)とおいてf(x)=ax と表せることを次の手順
で示せ。
　（1）任意の自然数ｎに対して f(n)=an　が成り立つ。
　（2）任意の有理数 n/m に対して f(n/m)=a・(n/m)が成
　　　り立つ。
　（3）任意の実数ｘに対して f(x)=ax となる。（これを
　　　示すときｆが連続である
　　　という仮定をつかう。)

＜問題2＞
関数ｆ：R→R が和とスカラー倍を保存すれば、ｆは連続であり、ｆは正比
例関数であることを示せ。
よろしくおねがいします。

お返事２００１／１２／２７
from=武田

問１
正比例関数ｆの定義は、「（ｙの変化量）／（ｘの変化量）＝一定」である。

 （一定）より、ｆ（１）＝ａ

①任意の自然数ｎに対して、

        ｆ（ｎ）＝ａｎ

②任意の有理数に対して、

③任意の実数ｘに対して、

        ｘ≠０のとき、ｆ（ｘ）＝ａｘ

　　　　ｆ（ｘ）が連続関数より、

        ｘ＝０のとき、

　　　　任意の実数ｘに対して、ｆ（ｘ）＝ａｘ

問２

和とスカラー倍が成り立つとき、

ｆ（ａｘ＋ｂｙ）＝ａｆ（ｘ）＋ｂｆ（ｙ）

ｙ＝０とおくと、

ｆ（ａｘ＋ｂ・０）＝ａｆ（ｘ）＋ｂｆ（０）

ｆは連続だから、ｆ（０）＝０

ｆ（ａｘ）＝ａｆ（ｘ）

だから、

　（一定）

したがって、ｆ（ｘ）＝ｃｘという正比例関数となる。