質問＜９＞９８／５／２３
１ A1=4 An＋１＝4An－９/An－2(n=1,2,3・・・)
上の数列の一般項の求めかたを教えてください。
（ 式の中の1,n＋１,n,nはAよりも小さい文字です）
２ A1=4 An＋１=4An＋８/An＋6
上の数列の一般項の求めかたを教えてください。
（ 式の中の1,n＋１,n,nはAよりも小さい文字です）
非常に見にくい式で申し訳ないのですが、回答をお願いします。
お返事９８／５／２５
from=武田
蛇足ですが、調べた中にあった線形１階差分方程式の解答を紹介します。形は
A1=4 、 An+1＝4An－９ｎ－２……①
です。
A*n＝ａ×ｎ＋ｂとおき、①式に代入
ａ×（ｎ＋１）＋ｂ＝4（ａ×ｎ＋ｂ）－９ｎ－２
全部左辺に集めて、
（－３ａ＋９）ｎ＋（ａ－３ｂ＋２）＝０
すべてのｎについて成り立つように、
－３ａ＋９＝０より、ａ＝３
ａ－３ｂ＋２＝０より、ｂ＝５／３
一般項は
An＝Ｃ×4n＋A*n
＝Ｃ×4n＋３×ｎ＋５／３
A1=4より、Ｃ×４＋３×１＋５／３＝４
Ｃ＝－１／６
答え、An＝（－１／６）×4n＋３×ｎ＋５／３
しかし、これができても分数式の時はできない！
お便り９８／７／８
from=kyukusu
An+1-3=(4An-9)/(An-2)-3 An+1-3=(An-3)/(An-2) An+1-3=(An-3)/(An-3+1) Bn+1=Bn/(Bn+1) 1/Bn+1=(Bn+1)/Bn 1/Bn+1=1+1/Bn 1/Bn+1-1/Bn=1 階差が等差数列で．．．． あとはいいでしょう もう一つのは両辺に４をたすと同様にできます． 頑張って下さい．
（追伸） さっそくのご返事ありがとうございました． 実はあの手の問題は今を去ること２０年ほど前に 私が高校生の時”成基学園”という京都にある塾 の通信教育のなかにありました．そのときは確か 誘導形式の問題であったように思います．その時 の印象が強烈で記憶に残っています．駿台（予備校） に通っていたときもあったように思います． 解法は例えば x=(4x-9)/(x-2) の様に特性方程式みたいなのを考えてその解を 両辺から引くという具合にします． 私も教員をしてますが問題を生徒が聞きに来て 「わからん」とはいいにくいですよね． 昨日”数学”で検索をかけてこのぺ－ジを見つ けました．昨日は会議で詳しくかけませんでした ので追加させていただきました．これからも頑張 って下さい．
お便り９８／１０／２
from=yuki
たびたび済みません。どうも気になってしまったもので 。。。。 A1=4 An＋１＝(4An－９)/(An－2) (n=1,2,3・・・) 上の数列の一般項の求めかたを教えてください。 （ 式の中の1,n＋１,n,nはAよりも小さい文字です） ですが、ええっと、An = (3n+1)/n ではないでしょうか？ 漸化式とか色々と難しいことが解答としてあるのですが、 これって、n=1からはじまっているので、まず最初に実際 に代入してみて A1 = 4 = 4/1 A2 = 7/2 A3 = 10/3 A4 = 13/4 ... として、分母と分数を別々に Bn = (4,7,10,13,...) Cn = (1,2,3,4,...) という単純な２つの等差数列に“還元して”求めてはい けないのでしょうか？そのところをお教えいただきたく 思います。 あと、ベクトルのスカラ積からベクトルの大きさを求める 問題がどこかにありましたが、あれもガシガシと計算すれ ばできるような気も…。
お便り９８／１０／４
from=kyukusu
yukiさんへ 10/2分の漸化式についてですが、おっしゃる通りＪＡＧＥＲ さんの１問目はその通りです。分子分母別々に考えてできます。 けれど２問目は一般項Ａn=(24-２^n+1)/(２^n-1-１)で、 分子分母別々に考えるのは大変難しく思われます。 また１問目も類推によるものなので数学的帰納法による証明 が必要になると思います。
お便り９９／８／３１
from=飯島光治
（武田談：お手紙でアドバイスを頂きました。要約し表現を 変えて掲載します。） yukiさんのやり方を「分母分子法」、kyukusuさんのやり方を 「特性方程式法」と呼ぶとすると、 「特性方程式法」は、問１のときは両辺から３を引くことで、 一般項ａn＝（３ｎ＋１）／ｎを求めることがで きるが、問２のときは両辺から２を引くか、４を加えること で求めるようだが、一般項ａn＝(24-２n+1)/(２n-1-１) はｎ＝１のとき分母＝０となり、初項ａ1＝４とはなら ないので、計算間違えだろう。計算法が難解でまだ確認はで きない。 「分母分子法」は、問１も問２も求めることができるが、 問２は分母と分子の階差数列が等比数列になる場合なので、 解き方は難解であるし、類推にすぎない答である。しかし、 階差数列が得意な人には答が出せそうです。 私が紹介するのは、「大学への数学」今月号(1999.9)の特集 に載っていた方法（「αβ法」と呼ぶことにしよう）です。 分数式の漸化式を解くときに、まず ａn+1＋α ｂn+1＝───── とおき、与式ａn+1を ａn+1＋β 代入する。この置き方が特徴である。 問１は計算すると、α＝βとなるので、この「αβ法」では 解けません。残念ですね。（後で分かるのだが、やさしい等 差の方はダメなようだ。） しかし、難問の問２の方がα≠βとなるので、解けるのです。 ４ａn＋８ ──── ＋α ａn＋６ ｂn+1＝────── ４ａn＋８ ──── ＋β ａn＋６ 分母と分子にａn＋６を掛けて、 ４ａn＋８＋α（ａn＋６） ｂn+1＝──────────── ４ａn＋８＋β（ａn＋６） （４＋α）ａn＋８＋６α ＝──────────── （４＋β）ａn＋８＋６β （４＋α） ａn＋（８＋６α）／（４＋α） ＝─────・─────────────── （４＋β） ａn＋（８＋６β）／（４＋β） ４＋α ｂn+1＝────・ｂn ４＋β となるためには、α＝（８＋６α）／（４＋α） βの場合でも同じである。そこで、ｘとおき計算すると、 ｘ（４＋ｘ）＝８＋６ｘ ｘ2－２ｘ－８＝０という２次方程式が出てくる。 因数分解して、（ｘ－４）（ｘ＋２）＝０ ∴ｘ＝４，－２ これは、「特性方程式法」の４を加えるか２を引くと同じに なっている。α＝４、β＝－２とおく。逆でも同じ結果にな る。 ８ ｂn+1＝──・ｂn＝４ｂn ２ ｂnは等比数列になる。どうやら「αβ法」はｂn 数列が等比数列になるのに向いているようだ。 公比は４で、 ａ1＝４より、 ａ1＋α ４＋４ ８ ｂ1＝────＝───＝─＝４ ａ1＋β ４－２ ２ 初項は４なので、 ｂn＝４・４n-1＝４n したがって、 ａn＋α ｂn＝─────より、 ａn＋β ａn＋４ ４n＝───── ａn－２ ４n（ａn－２）＝ａn＋４ （４n－１）ａn＝２・４n＋４ ∴ ２・４n＋４ ａn＝────── ……（答） ４n－１
お便り９９／９／６
from=村嶋健吾
（武田談：便せん４枚にわたるアドバイスを頂きました。
大事な点もあるので、全文掲載することにしました。）
この問題も１次変換です。
（１）An＋１＝(4An－9)/(An－2)は
(1)' ｗ＝(4ｚ－9)/(ｚ－2)
（２）An＋１=(4An＋8)/(An＋6)は
(2)' ｗ＝(4ｚ＋8)/(ｚ＋6)
と書き直します。
１次変換ｗ＝(ａｚ＋ｂ)/(ｃｚ＋ｄ)（ｃ≠０）について
次の定理が成り立つ。
＜１＞不動点が１個のとき、不動点をξ1とすると、
１ １
────＝────＋ｋ
ｗ－ξ1 ｚ－ξ1
＜２＞不動点が２個のとき、不動点をξ1、ξ2とすると、
ｗ－ξ1 ｚ－ξ1
────＝ｋ・────
ｗ－ξ2 ｚ－ξ2
この問題（大学入試でしょう）を作った大学の先生は、複素
関数論の教科書の例題等から、考え出したのでしょう。
（解１）不動点を求めると、ｚ＝(４ｚ－９)/(ｚ－２)より、
（ｚ－３）2＝０（重解）より、定理＜１＞が使
える。ξ1＝３
計算すると、ｋ＝１
１ １
───＝───＋１
ｗ－３ ｚ－３
したがって、
１ １
────＝────＋１
ａn+1－３ ａn－３
となる。
数列
１
｛ ──── ｝は等差数列である。
ａn－３
１
────＝１＋（ｎ－１）・１＝ｎ
ａn－３
１＝ｎ・（ａn－３）
∴ａn＝（３ｎ＋１）／ｎ
（解２）不動点を求めると、ｚ＝（４ｚ＋８）／（ｚ＋６）
より、（ｚ－２）（ｚ＋４）＝０より、定理＜２＞が使える。
ξ1＝－４、ξ2＝２
計算すると、（飯島先生のやり方と同じで）ｋ＝４
ｗ＋４ ｚ＋４
───＝４・───
ｗ－２ ｚ－２
したがって、
ａn+1＋４ ａn＋４
────＝４・────
ａn+1－２ ａn－２
となる。
数列
ａn＋４
｛ ─── ｝は等比数列である。
ａn－２
ａn＋４
───＝４・４n-1＝４n
ａn－２
ａn＋４＝４n・（ａn－２）
∴ａn＝（２・４n＋４）／（４n－１）
（１）と（２）でやり方が異なるのがイヤなところ。統一的
なやり方で できないかと考えたのが、以下の方法です。
(1)' ｗ＝(4ｚ－9)/(ｚ－2)
(2)' ｗ＝(4ｚ＋8)/(ｚ＋6)
を１次変換
(1)'' （Ｘ） （４ -9）（ｘ）
（ ）＝（ ）（ ）
（Ｙ） （１ -2）（ｙ）
(2)'' （Ｘ） （４ ８）（ｘ）
（ ）＝（ ）（ ）
（Ｙ） （１ ６）（ｙ）
に対応させる。
（解２）２の方が易しい。
行列の特性方程式
｜λ－４ －８｜
｜ ｜＝０を解くと、
｜－１ λ－６｜
（λ－４）（λ－６）－（－１）（－８）＝０
λ2－１０λ＋１６＝０
（λ－２）（λ－８）＝０
∴λ＝２，８（固有値）
==========補足説明===============================
A=( 4 8 )
( 1 6 )
λ=2 に対する固有ベクトルを,(A-λI)v = 0 から求めます。
ここに I は単位行列です。
( 4-2 8 )(x) = (0)
( 1 6-2 )(y) (0)
これより
x+4y=0
固有ベクトルは
(-4)
( 1)
のスカラー倍です。
同様に、
λ=8 に対する固有ベクトルは,
( 4-8 8 )(x) = (0)
( 1 6-8)(y) (0)
より
x-2y=0
固有ベクトルは
( 2)
( 1)
のスカラー倍です。
いま求めた2つの固有ベクトル(縦ベクトル)を横に並べて
P=( -4 2 )
( 1 1 )
==========補足説明終わり===============================
これに対応する固有ベクトルを（-4） （２）として、
（１），（１）
（-4 ２） （４ ８）
Ｐ＝（ ）とおく。Ａ＝（ ）に対して
（１ １） （１ ６） （２ ０）
Ｐ-1ＡＰ＝（ ）となる。（対角化）
（０ ８）
両辺をｎ－１乗すると、
（２ ０）n-1
（Ｐ-1ＡＰ）n-1＝（ ）
（０ ８）
（２n-1 ０）
Ｐ-1Ａn-1Ｐ＝（ ）
（０ ８n-1）
（２n-1 ０）
∴Ａn-1＝Ｐ（ ）Ｐ-1
（０ ８n-1）
（2/3・２n-1＋1/3・８n-1 -4/3・２n-1＋4/3・８n-1）
＝（ ）
（-1/6・２n-1＋1/6・８n-1 1/3・２n-1＋2/3・８n-1）
初項４＝4/1と考えて、ｘ1＝４、ｙ1＝１
（ｘn ） （４）
（ ）＝Ａn-1（ ）を書き下して、
（ｙn ） （１）
｛ｘn＝4/3・２n-1＋8/3・８n-1 （分子）
｛ｙn＝-1/3・２n-1＋4/3・８n-1 （分母）
∴ａn＝ｘn／ｙn
＝（２・４n＋４）／（４n－１）
（解１）
行列の特性方程式
｜λ－４ ９｜
｜ ｜＝０を解くと、
｜－１ λ＋２｜
（λ－４）（λ＋２）－（－１）・９＝０
λ2－２λ＋１＝０
（λ－１）2＝０
∴λ＝１（固有値は重解となる）
==========補足説明===============================
この場合は退化型（化け猫がペシャンコ）です。
A=( 4 -9 )
( 1 -2 )
λ=1 に対して,(A-λI)v ≠ 0 から求めます。
この式を満たすベクトル v を任意にとります。例えば
v = ( 1 )
( 1 )
にします。
( 4-1 -9 )(1) = (-6)
( 1 -2-1 )(1) (-2)
ですから、たしかにゼロ・ベクトルになりませんが、
この右辺のベクトルを v' とします。
そうしたら、v' と v を並べて行列を作ります。
P =(-6 1)
(-2 1)
これで P ができました。
詳しくは、線型代数かJordan標準形の教科書を参照してくだ
さい。
==========補足説明終わり===============================
これに対応する固有ベクトルを（-6） （１）として、
（-2），（１）
（-6 １） （４ -9）
Ｐ＝（ ）とおく。Ａ＝（ ）に対して
（-2 １） （１ -2）
（１ １）
Ｐ-1ＡＰ＝（ ）となる。
（０ １）
（重解だから、対角化できずに、三角行列になる）
両辺をｎ－１乗すると、
（１ １）n-1
（Ｐ-1ＡＰ）n-1＝（ ）
（０ １）
（１ ｎ－１）
Ｐ-1Ａn-1Ｐ＝（ ）
（０ １）
（１ ｎ－１）
∴Ａn-1＝Ｐ（ ）Ｐ-1
（０ １）
（３ｎ－２ －９ｎ＋９）
＝（ ）
（ ｎ－１ －３ｎ＋４）
初項４＝4/1と考えて、ｘ1＝４、ｙ1＝１
（ｘn ） （４）
（ ）＝Ａn-1（ ）を書き下して、
（ｙn ） （１）
｛ｘn＝３ｎ＋１ （分子）
｛ｙn＝ｎ （分母）
∴ａn＝ｘn／ｙn
＝（３ｎ＋１）／ｎ