質問＜３３９２＞２００６／９／１７
from=kaoru
「数列」

平面上にどの２本も平行でなく、どの３本も１点で交わらないｎ本の直線がある。
これらの直線が平面をＡｎ個の部分に分けているとする。
①　Ａ1，Ａ2、Ａ3，Ａ4を求めよ。
②　Ａｎを求めよ。

の問題が分かりませんでした。
解答をよろしくお願いします。

★完全解答希望★

お便り２００６／９／２１
from=下野哲史

A_(1)=2 , A_(2)=4 , A_(3)=7 , A_(4)=11

n+1 本目の線mは、それまでに存在する n 本の線と
 n 個の点で交わる。その交点で直線mはn+1個の
線分と半直線に分けられるため、平面はn+1個増える。
よって、以下の漸化式が成り立つ。

A_(n+1)=A_(n)+(n+1) , A_1=2

あとはこれを解く。
n≧2 において
A_(n)=2+Σ_(k=1)^(n-1) (k+1)=2+1/2 n(n-1)+n-1
 =(n^2+n+2)/2
これは n=1 でも成り立つ。
よって A_(n)=(n^2+n+2)/2

お便り２００６／９／２２
from=wakky

＜質問３０７９＞をご覧ください。

お便り２００６／９／２３
from=μG

①　図を書いて、分けられた部分を数えればいいと思います。

お便り２００６／９／２３
from=地蔵

今すでに、n本直線が引いてあるとすると、
An個の平面があることになります。
ここで、n+1本目の直線を引くと、
新たな平面が、n個増えることになります。
（なぜなら、その直線の通過する平面はn個で
それらの平面を1/2するからです。）
よって、An+1=An+n
(1) A1=2（書いてみてください）
　　A2=A1+2
      =4
    A3=A2+3
      =7
    A4=A3+4
      =11
(2) An+1=An+n,A1=2なので、
　　この漸化式を解きます。
　　An+1-An=nなので、
　　初項２、公差ｋの階差数列なので
　　n≧2の時
　　       n
　　An=A1+∑k
          k=1
      =2+n(n+1)/2
      =(n^2+n+2)/2