質問<3392>2006/9/17
平面上にどの2本も平行でなく、どの3本も1点で交わらないn本の直線がある。 これらの直線が平面をAn個の部分に分けているとする。 ① A1,A2、A3,A4を求めよ。 ② Anを求めよ。 の問題が分かりませんでした。 解答をよろしくお願いします。 ★完全解答希望★
お便り2006/9/21
from=下野哲史
A_(1)=2 , A_(2)=4 , A_(3)=7 , A_(4)=11 n+1 本目の線mは、それまでに存在する n 本の線と n 個の点で交わる。その交点で直線mはn+1個の 線分と半直線に分けられるため、平面はn+1個増える。 よって、以下の漸化式が成り立つ。 A_(n+1)=A_(n)+(n+1) , A_1=2 あとはこれを解く。 n≧2 において A_(n)=2+Σ_(k=1)^(n-1) (k+1)=2+1/2 n(n-1)+n-1 =(n^2+n+2)/2 これは n=1 でも成り立つ。 よって A_(n)=(n^2+n+2)/2
お便り2006/9/22
from=wakky
<質問3079>をご覧ください。
お便り2006/9/23
from=μG
① 図を書いて、分けられた部分を数えればいいと思います。
お便り2006/9/23
from=地蔵
今すでに、n本直線が引いてあるとすると、 An個の平面があることになります。 ここで、n+1本目の直線を引くと、 新たな平面が、n個増えることになります。 (なぜなら、その直線の通過する平面はn個で それらの平面を1/2するからです。) よって、An+1=An+n (1) A1=2(書いてみてください) A2=A1+2 =4 A3=A2+3 =7 A4=A3+4 =11 (2) An+1=An+n,A1=2なので、 この漸化式を解きます。 An+1-An=nなので、 初項2、公差kの階差数列なので n≧2の時 n An=A1+∑k k=1 =2+n(n+1)/2 =(n^2+n+2)/2